某类本原不可幂定号有向图的第一类广义基

《某类本原不可幂定号有向图的第一类广义基》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、（自然科学版）第２８卷第１期Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．１２０１２年２月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｂｅｉＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｆｅｂ．２０１２某类本原不可幂定号有向图的第一类广义基王慧敏，邵燕灵（中北大学数学系，山西太原０３００５１）摘要：利用有关本原不可幂定号有向图的相关理论方法，对某类含有三个圈的本原不可幂定号有向图进行了研究．根据图形的性质，综合运用ＳＳＳＤ途径对、Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ指数和异圈对的相关理论，进而得出这类本原不可幂定号有向图的第一类广义基，即Ｌｏｃａｌ基．关键词：ＳＳＳＤ途径对；Ｌｏｃａｌ基；定号有向图；本原指数

2、中图分类号：Ｏ１５７．５文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－１４９２（２０１２）０１－０００１－０３ＴｈｅＦｉｒｓｔＴｙｐｅｏｆＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＢａｓｅｏｆａＰｒｉｍｉｔｉｖｅＮｏｎ－ｐｏｗｅｒｆｕｌＳｉｇｎｅｄＤｉｇｒａｐｈＷＡＮＧＨｕｉ－ｍｉｎ，ＳＨＡＯＹａｎ－ｌｉｎｇ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＮｏｒｔｈＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｔａｉｙｕａｎ０３００５１，Ｓｈａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｔｕｄｙａｋｉｎｄｏｆｐｒｉｍｉｔｉｖｅｎｏｎ－ｐｏｗｅｒｆｕｌｓｉｇｎｅｄｄｉｇｒａｐｈｓｗｉｔｈｔｈｒｅｅｓｉｍ

3、ｐｅｃｙｃｌｅｓｂｙｕｓｉｎｇｓｏｍｅｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅｐｒｉｍｉｔｉｖｅｎｏｎ－ｐｏｗｅｒｆｕｌｓｉｇｎｅｄｄｉｇｒａｐｈｓ．Ｔｈｅｌｏｃａｌｂａｓｅｏｆｔｈｉｓｓｐｅｃｉａｌｐｒｉｍｉｔｉｖｅｎｏｎ－ｐｏｗｅｒｆｕｌｓｉｇｎｅｄｄｉｇｒａｐｈａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＳＳＳＤｗａｌｋｓ，Ｆｒｏｂｅ－ｎｉｕｓａｎｄｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄｃｙｃｌｅｐａｉｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＳＳＳＤｗａｌｋｓ；ｌｏｃａｌｂａｓｅ；ｓｉｇｎｅｄｄｉｇｒａｐｈ；ｐｒｉｍｉｔｉｖｅｅｘｐｏｎｅｎｔ１引言对于定号有向图的研究，包括

4、它的基及广义基，目前已经取得了一些结果，在后面的参考文献中有具体的介绍．而本文只是研究了一类含有三个圈的本原不可幂定号有向图的第一类广义基，即Ｌｏｃａｌ基．以下是一些基及广义基的定义．设Ａ＝（αｉｊ）是一个ｎ阶符号模式矩阵，Ｄ（Ａ）为Ａ的伴随有向图，将Ｄ（Ａ）中的每一条弧定义一个符号１或－１所得的图称为Ｄ（Ａ）的定号有向图，记为Ｓ（Ａ），Ｓ（Ａ）为Ａ的伴随定号有向图，即Ｄ（Ａ）就成为Ｓ（Ａ）的基础有向图．Ｓ中的一条途径Ｗ是一个有关弧的序列：ｅ１，ｅ２，…，ｅｋ，使得ｅｉ的终点与ｅｉ＋１的起点相同，其中ｉ＝１，２，…，ｋ－１．所含弧的条数ｋ即是途径Ｗ的长度，记为ｌ（Ｗ）．途

5、径Ｗ的符号被定义为ｋ∏ｓｇｎ（ｅｉ），记为ｓｇｎ（Ｗ）．如果一个定号有向图中的两条途径Ｗ１和Ｗ２有相同的起点和相同的终点及ｉ＝１［１］相同的长度，但是符号相反，则称它们为一个ＳＳＳＤ途径对．［２］定义１．１设Ｄ为有向图，如果存在正整数ｌ，使得对于Ｄ的任意顶点νｉ，νｊ（可以相同），在Ｄ中都存在从νｉ到νｊ长为ｌ的途径，则称Ｄ为本原有向图．上述最小的ｌ称为Ｄ的本原指数，记为ｅｘｐ（Ｄ）．［２］定义１．２设Ｄ为本原有向图，Ｖ（Ｄ）＝｛ν１，ν２，…，νｎ｝，νｉ，νｊ∈Ｖ（Ｄ），ＸＶ（Ｄ）：顶点νｉ到νｊ的指数ｅｘｐＤ（νｉ，νｊ）：是最小正整数ｍ，使得对任意ｔ≥ｍ，从νｉ

6、到νｊ都有长为ｔ的途径．顶点νｉ的点指数ｅｘｐＤ（νｉ）：是最小正整数ｐ，使得对任意ｔ≥ｐ，从νｉ到Ｄ的一点都有长为ｔ的途径，即有：ｅｘｐＤ（νｉ）＝ｍａｘ｛ｅｘｐＤ（νｉ，νｊ）｜νｊ∈Ｖ（Ｄ）｝［３］定义１．３如果定号有向图Ｓ不包含ＳＳＳＤ途径对，则称Ｓ为可幂的，否则称Ｓ为不可幂的．来稿日期：２０１１－１１－１７基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１０７１２２７）；山西省自然科学基金资助项目（２００８０１１００９）．作者简介：王慧敏（１９８６－），女，山西晋城人，中北大学数学系硕士研究生．·１·２０１２年２月河北北方学院学报（自然科学版）第１期［４］定义１．４设Ｓ是

7、一个本原不可幂定号有向图，若对任意顶点νｉ和νｊ（可以相同），并且对任意ｔ≥ｌ，从νｉ到νｊ都有长为ｔ的ＳＳＳＤ途径，则称满足上述条件的最小正整数ｌ，就叫做Ｓ的基，记为ｌ（ｓ）．［４］定义１．５设Ｓ是一个本原不可幂的定号有向图，对于νｉ∈Ｓ存在正整数ｍ，使得对任意的ｔ≥ｍ，从νｉ到Ｓ中的任意一点都有长为ｔ的ＳＳＳＤ途径对，满足上述条件的最小ｍ就是νｉ点的基，记作ｌｓ（νｉ）．为方便，令Ｖ（Ｓ）＝｛ν１，ν２，…，νｎ｝，则Ｓ中顶点适当调序后可得ｌｓ（ν１）≤ｌｓ（ν２）≤…≤ｌｓ（νｎ），则ｌＳ（νｋ）为Ｓ的第ｋ个广义基，即第