用打靶法求解一维薛定谔方程的定态解

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1、万方数据第35卷第6期胁m灿‰劬蠹。老鬈蕊慧；：曼。慧惹羔愀硫。刚。nN。v．2咖JoumalofSouthwestUniversitvforNatiOnalities．NaturalScienceEdition‘。。‘文章编号：1003．2843(2009)06·1143-04用打靶法求解一维薛定谔方程的定态解徐中辉，钟阳万，肖庆生，邱鑫(江西理工大学信息工程学院，江西赣州341000)摘要：薛定谔方程是量子力学的基本方程，其地位与经典物理中的牛顿运动方程相当．文章采用打靶法求解在一维无限深位势中运动粒子的量子力学定态解．分别在位势为

2、抛物势、方势阱、三角势等三种情况下，求得了符合精度的本征值和本征函数．关键词：薛定谔方程；打靶法：定态解；本征值；本征函数中图分类号：0413．1文献标识码：A1引言在《量子力学》课程的教学中，波函数和薛定谔方程是—个重要部分．在量子力学中，微观粒子的状态用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程是薛定谔方程川．求解薛定谔方程的一维定态问题有助于学生具体理解量子力学的基本原理，同时一维问题还是处理各种复杂问题的基础【2训．本文采用打靶法求解在一维无限深位势y(x)中运动的粒子的量子力学定态．分别在位势为抛物势、方势阱、三角势等三种情况下，求

3、解薛定谔方程，并进一步编写程序求得了符合精度的本征值和本征函数．2问题描述一个质重为聊的租于，处于位努∥【x)甲，假坟位势y(x)的形状如图l所示．在x=‰i。和x=x。。两点位势变为无穷大，在两点之间是一个势阱．其定态薛定谔方程及边界条件为：罢警+后2(x)沙(x)=o，缈o‰i。)：沙(x。。)=o．C％‘⋯。其中驴o)=等[E—y@)】．将schrc}din薛r方程无量纲化得到：【一吉嘉+yG)一￡]沙@)=o，这里川挚^s=景．矿DEIf，D图l位势矿(x)在x=xm加和x=x。。两点位势为：y(靠i。)=∞，y(k)=∞；在x

4、。iII和x删之间取位势为以下几种情收稿日期：2009．10．13作者简介：徐中辉(1982．)，男，江西赣县人，江西理工大学信息工程学院讲师，主要从事有机非线性光学材料、光电子及器件设汁方面的研究．E—mail：10n豁iSter@163．com万方数据1144西南民族大学学报·自然科学版第35卷况：①方势阱：y=％；②抛物线势阱：ycx，_％@2一·，；③Lennard—Jones势阱：ycx，=4％[(要)12一(晏)6]．在这几种位势隋况下，如何求得符合精度的本征值和本征函数．3用打靶法求解3．1打靶法在常微分方程边值问题的数值

5、解法中，把微分方程差分离散化，加上边值条件一并构成一代数方程组，解此代数方程组即可得到边值问题的数值解【2'3】．数值分析中，打靶法是将解归约为一个初值问题的求解边界值问题的方法．主要思路是适当选择和调整初值条件，求解一系列初值问题，使之逼近给定的边界条件【4】．假如将描述的曲线视作弹道，那么求解过程即不断调整试射条件使之达到预定的靶子，所以称作打靶法或试射法，此类方法的要害是设计选取初值的步骤．3．2求解过程解方程E—y(．]f)=0，取最小的根(可任取)x。；从x。j。出发，缈(x。折)=O，向x增加的方向积分，得沙。O)．从x。。

6、出发，缈(x。。)=0，向x减小的方向积分，得虬(x)．使沙。@)和％@)在x。光滑衔接，即以¨鹊‰)，誓I=等1．则对应的E和∥(x)为相应的本征值和本征函数．利用简单的有限差分近似，后式可写成1，，／三击眵。(x脚一办)一

7、；f，，(x。一向)J=o．实际求解中，可先大步长搜索，确定解的范围，方法是：给定E，求得厂(E)和厂(E+业)，若／(E)·厂(E+△占)

8、言编写程序，求得了符合精度的本征值和本征函数．4．1抛物势4．1．1x。选在E与y(x)的第一个交点上参数设置为：x范围选择一1～l，间隔为1／1000，单位为10nm；能量取值为-O．999—·0．0090eV精度为0．00001Py，％=1Py．运行程序所得能量本征值从一0．97963P矿至一O．11922Py，以0．oo001Py能量等间隔分布，在这一点上符合精确解的要求．选取其中—个本征值，比如能量为一0．8571P矿时，所得波函数图形如下图2所示．很明显此时波函数呈现奇字称．考虑到势阱的对称性，最左边的波峰不应该比它旁边的波峰

9、高，说明在参数设置过程中工。的选择对波函数的对称性有所影响．4．1．2x。选在x=0上参数设置为：x范围选择一1～1，间隔为1／1000，单位为10nm；能量取值为-0．999～-0．0090eV精度为O．