§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

《§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§16.3一维定态薛定谔方程的建立和求解举例（一）一维运动自由粒子的薛定谔方程波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程．将（16.2.14）式分别对t和x求导，然后从这两式消去E、p、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程：即（16.3.1）（16.3.3）即（16.3.2）方程（16.3.3）中不含有能量E和动量p，表明此方程是不受E和p的数值限制的普遍方程．请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（

2、16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式Œ郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版.．这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明．（二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程Œ郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版

3、.周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x，t）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t）分离成空间部分u（x）和时间部分f（t）两函数的乘积的特解，即〔一维运动自由粒子的定态波函数〕ψ（x,t）=u（x）f（t）（16.3.4）将此式代入（16.3.3）式得：两边除以ψ=uf得：此式左边是时间t的函数，右边是坐标x的函数．已知t与x是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E，即（16.3.5）因此，一个偏微分方程

4、（16.3.3）可分解成两个常微分方程（16.3.5）以求解．如〔附录16C〕所示，（16.3.5）式的E就是粒子的能量E．上述两个常微分方程的解分别为：〔时间波函数f（t）〕（16.3.6）〔空间波函数u（x）〕（16.3.7）将上式的待定常量C合并到A和B中，便可得到下式：（16.3.8）（16.3.9）从此式可知，特解ψ=uf使得几率密度

5、ψ

6、2与时间t无关，这是粒子的几率分布与时间无关的恒定状态，因此称为定态．ψ=uf称为定态波函数，其中空间部分u（x）可称空间波函数，时间部分f（t）可称时间波函数．如（16.3.9）式所

7、示，定态的几率密度

8、ψ

9、2决定于空间波函数u，与时间波函数f无关．（16.3.5）式中空间波函数u满足的方程，称为定态薛定谔方程，此方程重写如下：（16.3.10）（16.3.7）式表明，空间波函数u（x）的表式中有三个待定常量A、B、α，它们要由实际例子中的边界条件和归一化条件来确定．下面就要介绍确定常量A、B、α的一个实际例子．（三）一维矩形深势阱中，自由粒子的薛定谔方程定态解（1）金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动，假设可简化为自由粒子的一维运动．在外界条件不变的情况下，可设想自由电子的几率分布是恒定的，不随时间而变．这就

10、是上述定态的一维运动自由粒子的一个例子．上述（16.3.3）至（16.3.10）诸式均可应用于此例子．上述待定常量A、B、α，可按此例的边界条件和归一化条件确定之．（2）边界条件确定常量B与α(图16.3a)一维矩形深势阱上述自由电子只能在金属中运动，可设定它的运动范围为0＜x＜b．在此范围内，设它的势能为零，即Ep=0，E=Ek．在此范围外，它的势能必须达到无限大，即Ep→∞，E→∞．所谓Ep→∞，就是用势能条件表示自由电子不能越出金属之外，也就是说，这些自由电子被限制在矩形无限深势阱中运动，如（图16.3a）所示．按几率来说，在金

11、属表面以外没有自由电子，就是说，在x≤0和x≥b的范围中，这些电子的几率密度

12、ψ

13、2=0．因此，在此范围中，波函数ψ=0，u=0．这就是边界条件，或称边值条件．将此边值条件代入（16.3.7）式便可确定B与α的数值，计算如下：在x=0处：u（0）=Asin0°+Bcos0°=B=0（16.3.11）∴u（x）=Asinαx（16.3.12）在x=b处：u（b）=Asinαb=0，αb=nπ即α=nπ/b，n=1,2,3,……（16.3.13）∴ψ（x,t）=Asin（nπx/b）（16.3.14）在（16.3.13）式中，u（b）=0

14、不选用A=0的答案．这因为A=0，则u（x）=0，

15、ψ

16、2=0．这是x等于任何数值，都使

17、ψ

18、2=0的不合理答案．在（16.3.13）式，不选用n=0的答案．因为n=0则α=0、u（x）=0、

19、ψ

20、2=0，这也是处处都没