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《等价无穷小的探讨_黄永正》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、泉州黎明大学学报一九九四年第一期(总第五期)等价无穷小的探讨黄永正,:众所周知常用的等价无穷小量有,.当X0时51nx一x一.tgX~X份又一1士花金1~1一X1+Xex一1+XIn(1+x)一XaX一1一xjna(a>0).,,,我们也知道在求极限的过程中根据题目的特点选用恰当无穷小量的等价无穷小量来替代,往往可收到事半功倍的效果,:看以下两例tg3x2,例1求义叮了百丽J’·’,解x一。时tg3x,一3x,5in6xZ一6x2tg3xZ3x2-飞而不r一.’&物女习犷丽厂一=1/之tg入,2-例求“mtg3x+3sinxx~0解.’XO时,tgX一X.5inX—~XtgX....
2、.’Li田二二丁一二二,二,,=1im一二;丁:二二=Um一1丫二一一一=一-二xUlgX宁OSInx万,O入十O入欠今OX十JO~,,,““’“”,x显见在上述两例中当x~O时用tg扩和sinx的同一等价无穷小替代取得一74一泉州黎明大学学报一九九四年第一期(总第五期),,.,了满意的结果但若不分清红皂白地滥用则会带来不良的后果如下例tgx一sinx例3,求共盯『二广一,.’XO时.tgxx解~~5inX一XtgX一51nXX一X了一二矛一一一一一“毖沈架‘’,,显然这一解法是错误的(以下称误一解)因为承认这解法则意味着下面荒谬的结论也是正确的.tgX一5inXX一X...-.目.
3、.....se~二e-~es=!imse-=01im二二丫,OX义,0入.(其中n呀N)事实上例3的正确做法是:,例3解一:tgX一51nx一sinX~...~Lim一一气:丁一-一=!im一-,,一-一-丫今。人-丫,ox5inX(1一COSx)二1imX少O5inxl一COSxl二1im’xZ”co又sxX,05inxZSin21=!im一汉一’一z-一sx七己x‘X今0二1/2解二tgX一51seeZX一CosXnX=11ZseeZxtgx+sinx二1im4seeZxtgZx+Zsee4x+eosx一LimX令O1/2,‘’,.从中可知在例3的误解中是使用了不合理的等价无穷小
4、的替代新造成也就,‘’“’‘.,,是说:当x~。时—tgx一sinx以x一x即0’替代是不合理的那么是否能说在求,,,极限的过程中如遇到无穷小的代数和时不能用等价无穷小替代呢?答案又是否定的,.,‘因为在例2中我们曾通过替代收到了满意的效果因此必然提出等价无穷小何时才能进行这一替代’的问题..,,“:可以用等价无穷小的代笔者查阅了一些资料得到答案是在求极限的过程中换求.’.无穷小比的极限其原因在于有下述定理一一75一泉州黎明大学学报一九九四年第一期(总第五期),.[定理一」两个无穷小量用等价个它的无穷小量替代时其比的极限不变证明若州X)和夕(x)是当x一mn,O时的和阶无穷小量:m、
5、n,即(x)一aX刀(x)一bX则“xnaxm匡(X)(X)b·一俐1im=1imx’nxaxm”刀()。x沐今0)欠少Oxnaxm“b(X)l···=!im1im1imnaXmxbxX,,o刀()丫少OO厂axrn.·=!mxnb义吵O,.,该证明适用于X~a时无穷小量的情况因为只要施以变换X=X一a就可将X~。转化为X~0.以下证明同.,,正因为有定理一作依据因此在求无穷小量之比的极限时可以进行等价无穷小量的替代,但“求两无穷小量之和(或差)的极限能否用等价无穷小来替代’就没有明确的答案(有的避而不谈).事实上在求两无穷小.量之和的极限时等价无穷小的替代也是可行的〔定理二〕两个不
6、同阶的无穷小之和的阶,等于阶段数较低的被加项的阶.“X)x(刀()证明若1.二布一=1im·=CZ一又Clxn大一口欠少口,,·n>me,C:其中为常数二(X)+x)“(X)口(x)口(.~则1im宁端一斗!im一布大,p义‘,口一XX,OeX1xmZ”CCXi币习票万产戈器又=Cl+0=Cl,“.x~O(x)+x)和xm故时口(是同阶的无穷小因此,在求极报时,如遇到两个不同阶的无穷小量之代数和时,可以删去(或增加),.,高阶无穷小并用低阶无穷小量的等价无穷小量来替代如例2可有下面更简便的解法.tgxtgx=1im·3SinxX,0欠少OX=1imX,口3X=1/3,‘’“,,”在这
7、里我们删去了分母中tg“x这一比3sinx高阶的无穷小量并用无穷小量仪‘nx”·替代了si一76一泉州黎明大学学报一九九四年第一期(总第五期)x,一6X.习·例4,求1imOIn(1+3x)万,,‘‘,,“’,x6x6.因此可将6x“:解由于~。时是比护高阶的无穷小删去得x,一6x6可!im=1im厂In(1+3X)口In1+3X)浑,O盆少(劣犷汀1/3‘,,求两个无穷小之差的极限尤其是两等价无穷小之差的极限进行等价无穷小的替’,.,,,代问题更是许多资
