一种无风险利率时变条件下的Black-Scholes期权定价模型

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1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)NO．1一种无风险利率时变条件下的Black．Scholes期权定价模型任智格，何朗，黄樟灿(武汉理工大学理学院，湖北武汉430070)摘要：本文研究了无风险利率改进的Black—Scholes期权定价模型问题．利用指数函数和Ito公式的方法，获得了一种改进的Black—Scholes期权定价模型，推广了现有Black—Scholes期权定价模型的结果．关键词：Black-Scholes模型；期权定价；无风险利率；看涨期权MR(2010)主题分

2、类号：91B25中图分类号：O213文献标识码：A文章编号：0255—7797(2015)01—0203。041引言期权是赋予其持有者在规定的期限内按特定的价格买入或卖出一定数量的某种特定商品的权利，期权价格是期权买者为获得期权合约赋予的权利而支付给期权出售者的费用，而期权价格的合理性直接影响着投资者投资风险性，因此期权定价问题是期权研究中的一个重要方面．其中Black—Scholes期权定价模型(简称B—S期权定价模型)广泛应用于期权定价问题中．B—S期权定价模型中假设[1]．(1)股票期望的波动性在

3、期权有效期中是不变的；f2)市场无摩擦，即不存在税收和交易费用；(3)金融资产在期权有效期内无红利和其它所得；(4)无风险利率r是不变的；(5)标的资产价格满足几何布朗运动：d8：．=S_d+d，(、1．1)其中s表示标的资产，t∈[0，，T表示期权到期目，为期望收益率，盯为波动率，d叫为标准布朗运动，E(dw)=0，Var(dw)：dt．在上述假设的条件下，B—S期权定价模型如下：一Ot+rs塞+102c仃s。⋯一rc_u0j，(1．2)其中c(s，t)表示欧式看涨期权在t时刻的价格．从上述中可知，B

4、—S期权定价模型易于计算，但B—S期权定价模型计算的价格与实际价格有一些差距，主要是其假设条件不太符合现实，在现实生活中，这些假设条件存在部分不足，从而限制了B—S期权定价模型的应用范围，降低了期权定价的准确性．因此，对B—S期权定价模型的进一步分析研究具有一定的现实意义．收稿日期：2014．01—22接收日期：2014—06—20基金项目：“十二五”国家基金项目：建筑室外环境舒适度改善模拟与评价研究基金资助(2013BAJ02B00)；创新项目基金基金资助(2013一Ia-008)．作者简介：任智格(

5、1988一)，女，河北沙河，硕士，主要研究方向：应用数学．数学杂志其中上述的假设条件(4)就存在不足，在B—S模型中，无风险利率是不变的，一般采用国债利率，故其研究的是常利率情形下的期权定价问题，市场利率在短期情况下，我们一般认为其是不变的，但若是进行较长期投资时，无风险利率就会受到国家政策、经济发展状况以及股市的影响，这时如果用原有的B—S期权定价公式，得到的值就会存在一定的偏差．因此，许多学者对B—S期权定价模型中的无风险利率的假设条件进行改进，假设在长期投资中无风险利率变化是不确定，无规则的，应遵

6、循几何布朗运动，从而建立了用于描述利率变化的模型主要有Vasicek模型、Ho—lee模型、HJM模型．这三个模型虽然都假设无风险利率是随机的，但得出的结果仍与市场实际情况不太相符因此，现有许多学者都在无风险利率服从Vasicek模型、Ho—lee模型、HJM模型的基础上对B—S期权定价模型进行改进[2-10]．虽然研究无风险利率的方法有很多，但大部分公式复杂，限制了其在期权定价问题中的实际应用，因此，本文在原有假设的基础上，考虑到时间越长，风险性就越大，无风险率就越小，故假设无风险利率是变化的，对B—

7、S期权定价模型进行改进，并尝试获得看涨期权和看跌期权的定价公式．2改进的B．S期权定价模型2．1新的无风险利率模型的确定在较长期投资中，无风险利率是变化的，并且时间越长，风险性越大，无风险性就越小，一开始，无风险利率波动性会很大，但达到一定值后，无风险利率的波动性会越来越小，近似于0，因此无风险利率的这种变化特征符合指数函数．根据无风险利率的变化特征，本文在B—S模型的基础上假设无风险利率是变化的，其它条件不变，并假设无风险利率与股票价格、波动率都不相关，无风险利率在t时刻的值为无风险利率的初始值为t=

8、0时的国债利率则假设n的表达式为-ex)，(2．1)这里将近十年的每年的国债值带入上式中，得出。(1，2，3，4，5)，(1，2，3，4，5)=(+。+s++)，=去(／31++++)2．2一种改进的B—S期权定价模型假设在时刻￡的期权价格为c(￡，St)，下面根据对冲原理和It0公式求出c(t，S)所满足的偏微分方程，即假设期权卖出方在时刻t买进△份股票以抵消损失的风险，则余额为Rt：c(t，st)一△·8(2．2)根据Ito公式，有d=