江苏省2019届高考数学专题五函数、不等式与导数5.2小题考法—不等式讲义

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1、第二讲小题考法——不等式考点(一)不等式的恒成立问题及存在性问题主要考查恒成立问题或存在性问题以及等价转化思想的应用.[题组练透]1．设实数a≥1，使得不等式x

2、x－a

3、＋≥a对任意的实数x∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是________．解析：(1)当1≤a≤时，显然符合题意；(2)当a≥2时，原不等式可化为x(a－x)≥a－，取x＝1，成立；当x∈(1,2]时，a≥＝x＋1－.而函数f(x)＝x＋1－在(1,2]上单调递增，故a≥f(2)＝；(3)当

4、a≥a＋1－，解得1≤a≤，矛盾，舍去；由不等式组②得a≤＝x－1＋，同上可得1≤a≤，矛盾，舍去．综上所述，1≤a≤或a≥.答案：∪2．已知函数f(x)＝x，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．解析：当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于

5、x3－ax

6、<2，即－2

7、范围为________．解析：条件“不等式(m－n)2＋(m－lnn＋λ)2≥2对任意m∈R，n∈(0，＋∞)恒成立”可看作“点(m，m＋λ)，(n，lnn)两点的距离的平方恒大于2”，即“直线y＝x＋λ与曲线f(x)＝lnx上点之间的距离恒大于等于”．如图，当与直线y＝x＋λ平行的直线与曲线f(x)＝lnx相切时，两平行线间的距离最短，f′(x)＝＝1，故切点A(1,0)，此切点到直线y＝x＋λ的距离为≥，解得λ≥1或λ≤－3(舍去，此时直线与曲线相交)．故实数λ的取值范围为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)[方法技巧]不等式

8、恒成立问题或存在性问题的求解策略(1)有关不等式恒成立问题，通常利用分离变量法将其转化，即将所求参数与变量x之间的函数关系用不等式连接起来，再求函数的最值，从而确定参数范围．用分离变量法进行等价转化的好处是可以减少分类讨论．若不等式中含有绝对值，须通过分类讨论，转化为一般的一元二次不等式，再求解．(2)存在性问题也需要转化为最值问题，优先考虑分离变量的做题思路．(3)二元问题的恒成立也可以构造几何意义，利用几何法求解.考点(二)基本不等式主要考查利用基本不等式求最值，常与函数等知识交汇命题.[题组练透]1．已知f(x)＝log

9、2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值为________．解析：因为f(m)＋f(2n)＝3，所以log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3(m＞2且n＞1)，化简得(m－2)(n－1)＝4，解得m＝＋2，所以m＋n＝n＋＋2＝(n－1)＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当n＝3时等号成立，所以m＋n的最小值为7.答案：72．已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．解析：令f(x)＝≥3(x∈N*)，则(3－a)x≤x2＋8，即3－a

10、≤x＋.因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，又因为x∈N*，当x＝1时，x＋＝9；当x＝2时，x＋＝6；当x＝3时，x＋＝3＋<6，因此x＋的最小值为3＋，于是3－a≤3＋，得a≥－，即a的取值范围是.答案：3．已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．解析：法一：因为4≥2x＋2y，所以4≥[(x＋3y)＋(x－y)]＝3＋＋≥3＋2，当且仅当x＝2－1，y＝3－2时取等号，故＋的最小值为.法二：因为x>y>0，x＋y≤2，所以0

11、3－2时取等号．答案：4．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为________．解析：2x2＋xy－y2＝(2x－y)(x＋y)，令2x－y＝m，x＋y＝n，则mn＝1，当＝＝取得最大值时，必有m－n＞0，则＝≤＝，当且仅当m－n＝时取等号，所以的最大值为.答案：[方法技巧]利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3

12、)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)“a＋b，a2＋b2，ab，＋”之间的互化也是基本等式常见处理方法.考点(三)线性规划问题主要考查在约束条件下目标函数最值的求法，以及已知最优解或可行域的