抗震 第三章-2

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1、3.33.3多自由度弹性体系的地震反应分析多自由度弹性体系的地震反应分析一.多自由度体系振动微分方程建立二.多自由度体系无阻尼自由振动方程求解（自振周期和振型）三.多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法）一、多自由度弹性体系的运动方程1.计算简图确定层数=质点个数=自由度个数（只考虑单向地震作用）微分方程组的求解较困难，一般常采用振型分解法。对于振型，可通过分析无阻尼自由振动方程得到。二、多自由度体系无阻尼自由振动1、自振频率忽略阻尼的影响，并令荷载项为零，得无阻尼自由振动方程：MxKx0振幅令其解为：xXsint

2、22xXsintx代回方程2sin0kMXt要使上式具有非零解，则有2kM0频率方程可求出n个ω（自振频率）。最小的频率ω称之为基本频率，对应周期为基本周期T。11将ω依次代回方程可得到相对的振幅{X}，即为振型。ii若为两个自由度,令n=2，则有k11k122M100kk0M212222kmk1111202kkm21222解出ω：21kk1kkkkkk211221122112212212mm2mmm

3、m121212将求出的ω、ω分别代回方程，可求出X、X的相对值。1212对应于ω为第一振型1xkk11121222xkmkm1211121112对应于ω为第二振型2xk21122xkm221121对应于结构的某一自振频率，结构各质点振动的位移比是一个定值。2、振型（1）定义在振动过程中，各质点位移比值保持不变而且有一固定形式，此振动形式即为振型（主振型）。振型表示体系按某一频率振动过程中各质点的相对位置。自由度数=频率个数=振型个数3.43.4多自由度体系的水平地震作用多自由度体系的水平地震作用1

4、、振型分解反应谱法2、底部剪力法3、时程分析法1、振型分解反应谱法对质点i，惯性力为FtmxtxtiiginxttXijjjij1nnxgtjXjixgt注意：jXji1j1j1nFtmXxttiijjigjj1与单质点体系一样，需要知道地震作用的最大值。（1）振型的最大地震作用FtmXxttjiijjigjmaxx（t）（t）gjmax令，jGimigg则FXGjijjj

5、ii—n式中：Fjij振型i质点的水平地震作用标准值；miXjiγj—j振型的振型参与系数；i1jnX—j振型i质点的水平相对位移；2jimXijiG—集中于i质点的重力荷载代表值；i1iα—相应于j振型自振周期T的地震影响系数。jj（2）振型组合由前式可求得某一振型各质点的最大水平地震作用F(i=，1，2，…，n)，再按照静力分析ji法可求得结构对应于该振型的最大地震作用效应S（内力和变形等）。jnn由F（it）mijXjix（gt）（jt）Fjij1j1结构在任一时刻所受的地震作用为该时刻各振型地震作用之和。但是，各

6、振型的地震作用(相应的地震作用效应也)不会同时达到最大值。对于各平动振型产生的地震作用效应可近似地采用“平方和开方”法确定。m2SSjj1式中：S——结构水平地震作用效应；S——j振型水平地震作用产生的作用j效应(弯矩、剪力、轴力和变形等)注意注意：不能先将各振型的地震作用Fji采用“平方和开方”法进行组合，求出总的地震作用，再求地震作用效应。因为高阶振型中的地震作用有正有负，经平方后，全为正值，这样将夸大结构所受的地震作用效应。振型组合时振型反应数的确定一般的，各振型在结构地震总反应中的贡献将随着其频率的增加而迅速减小，故频率最低的几个振型往往控制着结构的

7、最大地震反应。1）一般情况下，可只取前2～3个振型，但不多于结构自由度数；2）当结构基本周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。振型分解反应谱法的过程：求多质点体系的自振频率、振型；求各振型下的最大地震作用；求各振型下的地震作用效应；总效应（振型组合）