第3章(2)抗震第三章

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1、第三章（2）9/9/202113.4多自由度弹性体系地震反应分析的振型分解法9/9/202123.4.1计算简图对于多层房屋，可把质量集中在每个楼层处。如多层框架、多层砖房。9/9/20213计算简图——续多跨不等高单层厂房，可以把质量集中到每个柱顶或屋盖标高处。9/9/20214计算简图——续烟囱，根据计算要求可分成若干段，每段集中成一个质点。9/9/202153.4.2运动方程由于地震引起结构振动，某时刻的位移情况如图所示。取质点i为脱离体，在质量上的作用力有：惯性力：9/9/20216运动方程——续阻尼力：弹

2、性力：式中系数：cis—使质量s产生单位速度而其它质点保持不动时，在质点i处引起的阻尼力。kis—使质量s产生单位位移而其它质点保持不动时，在质点i处引起的弹性力。9/9/20217运动方程——续根据质点的平衡条件：对于所有质点（i=1，2，…，n），可以得到与式（2）相似的一组方程。该方程组可简化为矩阵的形式：即：9/9/20218运动方程——续式（3-47）中：9/9/202193.4.3多自由度体系的自由振动1.频率方程为使计算简化，按无阻尼自由振动方程来计算结构体系的自振频率及主振型。无阻尼自由振动方程：设方

3、程的解为：9/9/202110多自由度体系的自由振动——续将式（b）对时间求二次导数得：将式（b）和式（c）代入式（a）得：显然，{X}不能为零，否则体系无振动。9/9/202111多自由度体系的自由振动——续为使得方程（3-53b）有非零解，则方程的系数行列式必须等于零：式（3-54）即为频率方程，解之可得体系的自振频率：9/9/202112多自由度体系的自由振动——续2.主振型对于不同的频率j，可以由式（3-53b）写出n个主振型向量方程：由上式可求得体系的n个主振型。9/9/2021133.4.4振型分解法1

4、.地震作用下多自由度体系的振动方程：该方程是一个耦联的振动方程，当自由度数量很多时求解很困难。一般采用振型分解法来求解。9/9/202114振型分解法——续2.广义坐标表达的质点位移、速度和加速度采用主振型的线性组合来表示质点的位移：式中：{Xj}为第j振型向量；qj(t)称为广义坐标。简写为矩阵的形式：9/9/202115振型分解法——续对上式求导数可得质点的速度和加速度：3.阻尼矩阵通常假定阻尼矩阵[c]等于质量矩阵[m]与刚度矩阵[k]的线性组合：9/9/202116振型分解法——续4.广义坐标表达的振动方程及

5、其解把上列各式代入式（3-47）并运算、整理后得:9/9/202117振型分解法——续令上式右边比值为：系数j称为振型参与系数。这样，则得到广义坐标表达的振动方程：9/9/202118振型分解法——续广义坐标表示的振动方程（3-89）在形式上与单自由度振动方程(3-5)相同，其解可仿照Duhamel积分得到：j(t)称为第j振型的等效单自由度体系的地震反应。9/9/202119振型分解法——续最后，将式（3-92）代入式（3-80），就得到原几何坐标下的质点mi的地震位移反应：考虑到（i=1，2，…，n），上式就

6、是用振型分解法得到的多自由度弹性体系在地震作用下各质点的位移反应计算公式。9/9/202120关于振型参与系数j将式（3-81）两边左乘{Xj}T[m]得：将式（a）右边展开，并利用振型正交性质，得：9/9/202121关于振型参与系数j令式（b）中{x}={1}，并与式（3-87）对比，则有：因为：所以，当xi(t)=1时则有：9/9/2021223.4.5结构自振特性3.4.5.1求自振频率及自振周期的基本方法3.4.5.2求自振频率及自振周期的近似方法3.4.5.3其它计算方法9/9/2021233.4.5

7、.1求自振频率及自振周期的基本方法单自由度体系的自振频率和自振周期：多自由度体系：9/9/202124求频率举例[例3-1]计算图示二层框架结构的自振频率和振型。9/9/202125例题3.1解答计算刚度系数k11=k1+k2k21=-k2k12=-k2k22=k29/9/202126由上图可以写出刚度系数：得到刚度矩阵：9/9/202127质量矩阵为将刚度矩阵和质量矩阵代入频率方程得9/9/202128由上式得将数据代入上式得将上式展开得9/9/202129解上式一元二次方程得自振频率由频率直接求得自振周期9/9/

8、202130由振型向量方程求得振型将1、2分别代入上式解得：9/9/202131主振型图第1振型、第2振型分别如下图示9/9/2021323.4.5.2求自振频率及自振周期的近似方法9/9/202133矩阵迭代法（stodola法）矩阵迭代法（P.42）是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率与振型。迭代公式推导如下。由振型向量方程得：将