2009年普通高等学校招生全国统一考试理数(北京卷)

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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知向量不共线，如果，那么（）A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，

2、再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为（）A．B．1C．D．5．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．若为有理数），则（）A．45B．55C．70D．807．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为A．324B．328C．360D．6488．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称

3、点为“A点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线上的所有点都是“A点”B．直线上仅有有限个点是“A点”C．直线上的所有点都不是“A点”D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A点”第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．___________。19（理数）20（理数）10．若实数满足则的最小值为__________。11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在点处的切线的斜率为______________。12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若

4、，则_________；的小大为____________。13．若函数则不等式的解集为____________。14．已知数列满足：则________；=____________。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．（本小题共13分）在中，角的对边分别为，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积。16．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，底面，第16题图点，分别在棱上，且（I）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；19（理数）20（理数）（Ⅲ）是否存在点使得

5、二面角为直二面角？并说明理由.17．（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min。（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望。18．（本小题共13分）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；19（理数）20（理数）（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。19．（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）

6、求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。19（理数）20（理数）20．（本小题共13分）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于。（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）证明：，且（Ⅲ）证明：当时，成等比数列。2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）参考答案1．【答案】B【解题思路】本题主要考查在坐标系数内复数与点的对应关系，属于基础知识的考查.，复数所对应的点为，故选B.2．【答案】D【解题思路】本题主要考查向量的共线（平行）、向量

7、的加减法，属于基础知识、基本运算的考查.取，若，则，.显然，与d不平行，排除A、B.若，则，，即且与d反向，排除C，故选D.3．【答案】C第4题答案图19（理数）20（理数）【解题思路】本题主要考查函数图象的平移变换，属于基础知识、基本运算的考查.A项，B项，C项，D项.故应选C.4．【答案】D【解题思路】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查.依题意，，如图，，故选D.5．【答案】A【解题思路】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判

8、断，属于基础知识、基本运算的考查.当时，；反之，当时，有，或，故应选A.6．【答案】C【解题思路】本题主要考查二项式定理及其展开式，属于基础知识、基本运算的考查.，由已知，得.故选C.7．【答案】B【解题思路】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识，属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个），当0不排在末位时，有