《4.3.1 利用导数研究函数的单调性》课件

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1、【课标要求】1．理解导数与函数单调性之间的关系．2．会利用导数研究函数的单调性．3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间．4．3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单调性设函数y＝f(x)在某个区间上的导数为f′(x)，如果，那么函数y＝f(x)递增；如果，那么函数y＝f(x)递减．从导数定义看，函数的导数就是函数值关于自变量的，变化率的绝对值越大说明变得越，绝对值越小说明变得越；从函数的图象看，导数是切线的，斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就陡，斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些．自学导引1．f′(x)>0f′(x)<02

2、．变化率快慢斜率提示　可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于零．这就是说，函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f′(x)＝0.自主探究可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是什么？若f(x)在[a，b]上连续且在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()．A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定解析　因f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)>f(a)

3、≥0.答案A预习测评1．函数f(x)＝x＋lnx的单调增区间为()．A．(－∞，－1)，(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－1，0)D．(－1，1)答案B2．函数y＝x3－3x的单调递减区间是________．解析∵y′＝3x2－3＝3(x2－1)，∴令y′<0，即3(x＋1)(x－1)<0，解得－1

4、域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接，可用“逗号”或“和”字隔开．要点阐释(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．如f(x)＝x3，x＝0时，f′(x)＝0，但f(x)在R上是增函数．(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数．如f(x)＝3，则f′(x)

5、＝3′＝0.(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．(7)一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零，特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到．点评　用导数证明函数的单调性(在某区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件)．根据导数与函数单调性的关系，由f′(x)的符号可判定或证明函

6、数f(x)在相应区间上的增减性．题型二　求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．点评　确定函数的单调区间，可利用函数单调性定义，但有时往往比较繁杂，如果函数y＝f(x)可导，则可借助导数来求函数的单调区间，通常是先求出函数f(x)的导数，然后再解不等式f′(x)>0或f′(x)<0确定递增区间和递减区间．另外，单调区间一般不能写成并集的形式．2．求函数f(x)＝x2－2lnx的单调区间．题型三　已知单调性求参数的取值范围点评　利用导数判断函数的单调性，就要通过先求出导函数，根据已知条件判断导函数在某个区间上的正负．这其中

7、，如果含有参数就会用到分类讨论，同时要注意函数的定义域，否则会产生错误的判断．已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间Ⅰ上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．3．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围．[错解一]依题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x

8、3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f′(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上f′(x)>