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1、电磁场与电磁波Electromagneticfieldsandelectromagneticwaves第4讲标量场的梯度黄惠芬华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL:89502331Email:huanghf@scut.edu.cnResearchInstituteofRF&WirelessTechniques第2讲内容∑标量场的等值面∑方向导数∑梯度SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechnique
2、s1.1标量场的等值面∑等值面∑一个标量场在空间的分布规律可以用一个标量函数来表示。例如，在直角坐标系中，可以表示为:∑标量场取得相同值的点所构成的空间曲面,对任意给定的常数C，方程:∑就是u的等值面方程。SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniques1.1标量场的等值面∑对于每一个特定C值，空间有唯一的曲面与其对应，在这个面上，虽然不同点上的坐标值x,y,z不同，但其函数值均为u=C。∑当C取一一系列不同值
3、时，就可得到一系列不同的等值面，这族等值面充满了整个标量场所在的空间。∑等值面特点：∑（1）互不相交。∑（2）通过标量场区的每一∑个点有一个等值面；任一点SouthChinaUniversityofTechnology∑只在一个等值面上.ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques1.1标量场的等值面∑等值线∑如果某标量场u，仅是两维坐标变量∑x,y的函数，则这种平面标量场的等∑值面方程退化为:∑u(x,y)=C(C为任意常数)（1-54）∑上式是一组等值线，等值线也∑
4、互不相交。等高线，等温线，∑等电位线都是标量量等∑值线。SouthChinaUniversityofTechnology图0.1.1等值线ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques1.2方向导数∑等值面、等值线直观表示了物理量在场中总的分布状况，是一个整体性描绘。为了研究场量在空间任一点沿各个方向的变化规律，引入方向导数。∑1、方向导数定义：d∑设Mo为标量场中一点，从点dMo出发引出一射线l，在Mo处的单位矢量al，1-19示，在邻近取一动点M，点M到点Mo的距离为
5、Δll,0Δ→，则极限d∑称为标量场u(M)在点Mo处沿a方向的方向导数。SouthChinaUniversityofTechnologylResearchInstituteofRF&WirelessTechniques1.2方向导数d∑从式(1-55)可以看出，标量场u(M)在Mo,方向上的al∂ud∑当>0时，标量场u(M)沿a方向是增加的；∂ll∑例如：∑2．方向导数的计算公式:∑直角坐标系中，设标量场SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstitute
6、ofRF&WirelessTechniques1.2方向导数d∑处可微，在射线l上点∑标量场u从点Mo至点M的增量△udd若Δl的单位矢量a与轴x,y,z夹角为，，，则αβγldcos,cos,cosαβγ为的a方向余弦，则直角坐标系中任意点沿任意ld方向方向导a数表达式：lSouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniques1.2方向导数d∑它是标量场的场函数u对三个坐标轴的偏导数分别与al的三个方向余弦的乘积之
7、和。∑例1-4求函数∑向导数。∑SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesd∑l的方向余弦是：SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniques1.3梯度∑方向导数解决了标量场在给定点沿某方向的变化率问题。但从给定点出发有无数方向，不同方向导数值一般不同。那么在给定点沿哪个方向变化率最大？引入梯度。∑1、梯度定义
8、：∑设一个标量函数ϕ(x,y,z),若函数ϕ在点P可微,则ϕ在点P沿任d意方向a的方向导数为:l∂u∂u∂u∂u=cosα+cosβ+cosγ∂l∂x∂y∂z∂uuu∂∂∑引入矢量：Ga=++aa（）1-58xyz∂∂∂xyza=acosα+acosβ+acosγlxyzSouthChinaUniversityofTechnology式中，，，分别是与γx,y,z轴的夹角αβResearchInstituteofRF&Wire
