二、标量场及其梯度

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1、第二节标量场及其梯度1、标量场定义及图示对于区域V内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量ƒ(r)与之对应，我们就称这个标量函数ƒ(r)是定义于V内的标量场。orf(r)V标量场有两种：与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r)表示；与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t)表示。形象描绘场分布的工具--场线标量场--等值线(面)。其方程为f=-1f=1f=0f=2f=3图1-9标量场的一组等值线作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。2、梯度点位移导致ƒ的改变(x,y,z)(x+dx,y+dy,z+dz)ƒ+dƒƒdlyzxo线元

2、矢量：dl=dxex+dyey+dzez标量场的相应微增量dƒ则为：(1)梯度的导出右图中，由(x,y,z)点到邻近的(x+dx,y+dy,z+dz)点的微分位移dl将导致场函数有一微分增量df标量场ƒ(x,y,z)在(x,y,z)点的梯度(gradient)定义为：因此（dxex+dyey+dzez）(2)方向导数与梯度的关系偏导数、、分别叫做ƒ在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为推广到ƒ(x,y,z)在某点沿任意矢量l方向的方向导数，则应表为式中，el是l的单位矢量。（3）梯度的物理意义梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面

3、）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，即该点最大方向导数；标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数；例1电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；指向电位减少的方向。数值等于该点的最大方向导数；电位场的梯度（4）哈密顿算子（读作del或nabla）直角坐标系中的具体形式为单独存在没有任何意义；算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，即，。在不同坐标系中，算符有不同的表达形式。使用算符时注意几点：梯度运算的基本公式掌握：1、如何求梯度；2、梯度的性质；3、梯度的数学

4、应用。（5）梯度运算的几个基本关系式相对坐标标量函数f(rr)证明：在直角坐标系中f(rr)=f(xx，yy，zz)令xx=X，yy=Y，zz=Z，应用复合函数求导法则可得即有同理可得上式重写为等式若成立，则应有证毕。相对位置矢量R=rr的模R=rr在直角坐标中则同理有于是根据算符的微分特性可得（R0）例2求f=4e2xy+z在点P1（1，1，1）处的由该点指向P2（3，5，6）方向上的方向导数。解：于是，f在P1处沿R12方向上的方向导数为：