第08章 粘性流体动力学基础

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1、第八章粘性流体动力学基础课堂提问：为什么河水中间速度大,而靠近岸边速度小?本章主要内容：1.导出粘性流体动力学基本微分方程，即纳维---斯托克斯（Navier-Stokes）方程2.讨论该方程的个别精确解。——用纳-斯方程求解简单的流动问题。1§8-1粘性流体的运动微分方程式（N—S方程）与欧拉方程的推导类似，作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。取一六面体流体微团dzz1.流体微团上受力:dx表面力：法向应力dy切向应力yxrrrr质量力：F=++XiYjZk2∂pzp+dzz∂z∂τzyτ+dz∂τzxzyτ+dz∂zzx∂zpxτxy∂τyzτ+dydzyz∂yτyxp

2、τyxz∂τxzdxτ+∂pxzyzτ∂xpd+yyz∂τyxy∂y∂τxyτ+dyyxτxy+dx∂ydx∂x∂pxτp+dxzydyx∂xτzxpzyx下标1、2：分别为切应力的位置和切应力的方向3构成点的应力张量，共有九个分量：⎡pττ⎤xxxyxz⎢⎥τpτ（8－1）⎢yxyyyz⎥⎢⎥⎣τzxτzypzz⎦第一个下标：切应力所处于的坐标面第二个下标：切应力的方向九个应力分量中，六个切向应力两两相等τ=τ⎫xyyx⎪τ=τ⎬yzzy（8－2）⎪τ=τ⎭4xzzx证明：取单位厚度微团,通过其形心并平行于ｘ轴线的力矩平衡关系如下:∂pp+zdzz∂z∂τzyτ+dy面力是二阶小量，z

3、y∂y质量力是三阶小量z∂τyzτ+dyyzp形心∂y对形心取矩，忽略了ydx∂pyτyzp+dyy质量力引起的力矩：dy∂yτzyp力矩方程为：zydy∂∂τyzdydzτzydzττdz⋅++()dydz⋅−⋅−+ττdy()dzdy=0yzyzzyzy22∂∂yz225略去高阶小量后得：τ=τyzzy同理可以证明另外两式成立，即τ=τττ=xzzxyxxy应力张量中只有六个分量是独立的。⎡pττ⎤xxxyxz⎢⎥（8－1）τpτ⎢yxyyyz⎥⎢⎥τ⎣τzxzypzz⎦62.N-S方程的推导ｘ方向的平衡方程：∂p∂τyxx−+ppdydz()+dxdydz−+ττdzdx()+dy

4、dzdxxxyxyx∂x∂y∂τzx−+ττdydx()+dzdydx+ρXdxdydzzxzx∂zpxτdxdydza∂τxzxy=ρdxxτxz+∂xdzτxz∂τxyzdxτxy+dx∂xdy∂pxpx+dx7y∂xx稍加整理，消去ρdxdydz得ｘ方向的方程式，DVx1∂∂pxx∂τyxτzx=+X()++Dtρ∂x∂∂yz同理可得ｙ方向和ｚ方向的方程式DVx1∂∂pxx∂τyxτzx=+X()++Dtxρ∂∂∂yzDVyy1∂∂∂τxPyyτzy（8-5）=+Y()++Dtxρ∂∂∂yzDVzz1∂τzx∂τzy∂pz=+Z()++Dtxρ∂∂∂yz单位质量流体的惯性力单位质量

5、流体的应力单位质量流体的质量力这就是应力形式的粘性流体运动微分方程8讨论1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个应力分量；加上连续性方程，只有四个方程，方程组不封闭。　2.若要求解，需补充方程。3.应力与变形速度之间是否有某种关系？流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团的变形速度成正比。例如由最简单的牛顿平板剪流试验得知：　dvxτμ=（８-６）dy9某瞬时一方形微团ABCD，经过时间dt后变为棱形A’B’C’D’，微团的剪切变形速度为:dγdudtduxx==/dtdtdydy剪切变形速度与速度梯度联系起来了牛顿内摩擦定律暗示着切应力与剪切变形速度成正比，比例系数为流体的粘性

6、系数μ。10把牛顿内摩擦定律推广于下图一般的平面剪切变形就有dγddγγ12τττμ====μ()+xyyxdtdtdt也即y∂v∂v⎫C’xyττ==τμ()+=2μγ⎪xyyxzdydx⎪∂v∂v⎪⎪BB’Cyzτ==τμ()+=2μγ⎬yzzyxdzdy⎪dγτ1τ∂v∂v⎪zxτ==τμ()+=2μγ⎪xzzxyD’dxdz⎪⎭dγ2A（8—7）Dxτ11这就建立了切应力与速度之间的关系，即补充了三个方程。法向应力与线变形速度之关系:对于理想流体，在同一点各方向的法向应力（即压力）是相等的，即ｐ=ｐ=ｐ=－ｐｘyz流体微团运动中存在角变形，线变形，即在流体微团法线方向有线变形速度

7、，它将使粘性流体中的法向应力有所改变（与理想流体相比），产生附加法向应力。12将牛顿内摩擦定律推广，假设附加法向应力等于动力粘性系数与两倍线变形速度的乘积，得法向应力的表达式：∂v⎫xpp=−+22μ=−+pμεxx⎪∂x⎪∂vy⎪(８--８）pp=−+22μ=−+pμε⎬yy∂y⎪∂v⎪zpp=−+22μ=−+pμε⎪zz∂z⎭可见，在粘性流体中同一点任意三个互相垂直的法向应力是不相等的，它们的总和为：13∂v∂v∂vxyzppp