小波分析的基本理论

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1、小波分析的基本理论及其应用刘九芬2005.3前言小波分析就是对小波基的存在性、构造与性质的研究。称为小波（描述性语言）：“小”指支撑集比较“小”；“波”指波动性（正负相间）小波分析及其应用是一门新学科。它是Fourier分析与信号处理理论发展到一定阶段的产物。小波分析的诞生虽与本世纪前半叶的某些数学发展，例如Haar分析与(1938)LittlewoodPaley分析有关，但直接地，却只能追溯到七十年代，那个时代，A.Calderón(1975)表示定理的发现与对Hardy空间的原子分解与无条件基的大量研究为小波分析

2、的诞生作了理论上的准备。1982年，J.Strömberg首先构造出指数衰减并且属于Ck（k任意有限）的小波函数（由它构造出的小波基被称为历史上第一个小波基），但它并没有引起当时人们的注意。八十年代初许多搞信号分析的工程师们也为小波分析的诞生做出了积极的贡献。例如：J.Morlet(1984)在处理地震信号时就使用了小波变换。在影像地震学中，Morlet知道：在探测高频时假如送到地下的可调脉冲波持续时间太长，便不能用来分辨密聚的地层结构。因此，Morlet认为不能始终发射相同波长的波，在探测高频时应发送更短的波，这种

3、由单个函数的伸缩得到的波叫小波，最早使用了小波这一名称。1986年Y.Meyer偶然地构造出了第一个具有无限光滑性并且频谱有限的现在称之为Meyer基的真正的小波基，以及随后不久S.Mallat与Y.Meyer建立了构造小波基的通用方法---多尺度分析以后，小波分析才形成为一门科学。小波分析的出现不仅为分析数学的研究提供了有力工具，而且为信号分析与处理理论的发展树立了一块新的里程碑。它涉及面之宽广，影响之深远，发展之迅速都是空前的。小波分析不仅已经应用到图象纹理分析、图象编码、计算机视觉、语音识别、语音合成、语音编码

4、等与信号处理有关的大部分工程领域，而且在调和分析、微分方程数值解、随机过程、量子场论等理论学科也得到了广泛应用，其影响正迅速地向其他学科漫延。Fourier分析Fourier分析包括Fourier变换和Fourier级数，是以纯粹数学与应用数学分析为基础建立的学科。该分析方法在科学与技术的所有领域中不仅是十分重要的学科，而且Fourier变换和Fourier级数还具有重要的物理解释。另外，Fourier级数的计算方面也是特别有吸引力的，主要是因为级数的正交性和只用两个函数：sinx与cosx的简单表示性。经典的Fou

5、rier分析指出，周期平方可积函数可以表示成Fourier级数。(1)其中{}被称为的Fourier系数，可如下求得：(2)类似地，认为将函数的周期扩展到无穷大，对其Fourier变换为：(3)其Fourier逆变换为：（4）式中称为频率。实际应用中的信号都是时间的函数，因此，Fourier分析也称为时（间域）---频（率域）分析。虽然Fourier分析有众多的优点，但也有不可忽视的局限性。1）Fourier分析的两个组成部分Fourier级数和Fourier变换基本上不相关。2）Fourier分析不能作局部化分析，

6、由公式（4）可以看出，在任何有限频段上信息，不能确定f(x)任何小范围内的值，反之由公式（3）可以看出f(x)的任何有限时域的值，也不能确定的任何小范围内的值。究其原因:由于的支集为整个实轴。因此，Fourier分析面临着时域与频域局部化的基本矛盾。然而在很多非平稳信号分析和实时信号处理的应用中，我们所关心的是信号局部范围内的特征。例如：对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；边缘检测关心信号突变的位置。Gabor变换Fourier变换的缺点使得FT在分析信号的瞬时特性方面显得软弱无力。Gabor注意到

7、了FT的这一不足，在1946年提出了信号的时频局部化分析方法---Gabor变换，后来发展成为短时Fourier变换（STFT）或加窗Fourier变换。STFT引入一个窗口函数，它是在一有限区间（称为窗口）外恒等于零或迅速衰减为零的光滑函数，这个有限区间的位置随一个参数t0而变，用去乘所要研究的函数（相当于在t0附近开了一个“窗口”），然后对它作Fourier变换，即：其中。称为f(x)关于窗口函数的STFT。（大致反映f(x)在时间窗的局部信息）(时频联姻)在统计意义下，定义其时---频窗中心为：又定义其时---

8、频窗半径为：则其时---频窗大小为：图时-频盒（Heisenberg长方形）只要适当地选择窗口函数，就可以通过信号的加窗Fourier变换获得在2时间区域内的信息；另一方面，一旦窗口函数取定，其窗口大小也随之确定，其时---频窗的大小和形状都就一定了，时间、频率分辨率也随之确定。Heisenburg测不准定理告诉我们，无论是什么样的窗函数，时窗