等度区间族覆盖数轴的作用

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1、等度区间族覆盖数轴的应用页码,1/10等度区间族覆盖数轴的作用邢家省(北京航空航天大学数学系,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100083)摘要:利用等度区间族覆盖数轴的简单知识,给出了有理数对实数逼近的表示方式及其应用;对带余除法公式给出了直观的证明和应用,对分析中的一些结果给出了统一的处理方法.关键词:等度区间族;带余除法公式;最大公因数的性质.中图分类号:O177.2 文献标识码:A等度区间族覆盖数轴是非常简单的几何直观知识,使用它可以证明出的一些结果是容易接受的.然而此技术的使用方面是分散在各处,没有形成一个统

2、一的技术方法.我们发现利用等度区间族覆盖数轴的这一简单知识可以使许多结果得到统一的技术处理,给出了有理数对实数逼近的表示方式及其应用;对带余除法公式给出了直观的证明,给出了分数必可表示为有限小数或无限循环小数的证明,给出了整数的最大公因数性质的证明.并对一致连续函数的有界性,广义积分的一些性质等给出了证明.这些结果虽然是早就有的,然而它们的证明是分散在各处,没有形成一个统一的方法技巧.从理论上讲,等度区间族后来发展为ε-网族及开覆盖理论,然而许多结果的证明用等度区间族覆盖就够了,后来的理论发展就是突破解决了用等度区间族覆盖不

3、能解决的问题.充分使用等度区间族覆盖思想方法去解决问题,也为理解应用有限覆盖理论提供了思维训练和方法准备.*正整数的集合记为N;整数的集合记为Z;有理数形成的集合记为Q.对任意正实数δ>0,区间族[pδ,(p+1)δ),(p∈Z)盖着(覆盖)了整个数轴,每一个实数(每一个点)x位于这些区间中的一个区间,这就是说,对于任意固定的实数(每一个点)x,一定可以找到一个整数m,使得x∈[mδ,(m+1)δ),即得mδ≤x<(m+1)δ,x=mδ+r,0≤x<δ.1设qq是任意给定正整数,把单位长度分成等份,找出代表q的那一点;从而,

4、对任何整数p,便pp不难找出代表q的那一点,于是任何有理数q都可在数轴上表示出来.收稿日期:基金项目:北京市级精品课程建设项目基金资助,北京航空航天大学校级精品课程建设项目基金资助.作者简介:邢家省(1964--)男,河南泌阳人,副教授,从事教学和科研工作.1有理数逼近实数的表示方式p1对于任意固定的正整数q,如今让p遍取所有的整数,那么q这些数把数轴分成一些长度为q的区file://E:教学数学分析gksxfxjpkjxlwjxlw10.htm2009-6-13等度区间族覆盖数轴的应用页码,2/10pp+1[,)

5、间,区间族qq(p遍取所有的整数)就覆盖着了整个数轴.每一个实数(每一个点)x位于这些区间中的一个区间,这就是说,对于任意固定的实数(每一个pp+1pp+1x∈[,)≤x<点)x,一定可以找到一个整数p,使得qq,即qq,p1p+110≤x−<0<−x≤这个不等式等价于qq,qq.1由于qq是任意取定的正整数,我们可以事先把取得充分大,以致使q小于我们预设的值.上面的不等式表明:每一个实数都能用有理数去逼近到任意的精确程度.这称为有理数在实数中是稠密的.任两个不同的有理数之间有无限多个有理数,也有无限多个无理数.(b−a)(

6、b−a)2r=a+s=a+    事实上,设为两个有理数,则nn为有理数,nn为无理数,且a

7、)=⎨,x=,q>0,p,q互素⎪qq函数⎪⎩0,x=无理数 ,称为Riemann函数.显然Riemann函数R(x)是以1为周期的周期函数.limR(x)=0[1−5]x定理1 对于任意实数0,则有x→x0 .定理2[1,2]  Riemann函数R(x)在无理点处连续,在有理点处不连续. 定理3[1,2] Riemann函数R(x)处处不可导.证明已知R(x)在有理点处不连续,故R(x)在有理点处不可导.现只需证明在无理点处不可导.设file://E:教学数学分析gksxfxjpkjxlwjxlw10.htm2

8、009-6-13等度区间族覆盖数轴的应用页码,3/10x0∈(0,1)为任一无理点,则x沿无理点列{xn}趋向于x0时,有R(xn)−R(x0)0lim=lim=0n→∞xn−x0n→∞xn−x0 .R(r)−R(x)n0x{}现在只要证明沿某个有理点列{rn}趋向于0时,rn−x0的极限

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