第三章：向量

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1、第三章：向量一、考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法二、考试要求1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5.了解内积的

2、概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．三、名师点拨本章核心内容如下：（1）正交矩阵：TT定义：A正交⇔AA=AA=E.2性质：①A正交⇔A=1即A=−1或1；−1T②A正交⇔A=A；③A正交⇔A的行（列）向量均为单位向量，且两两正交.(单位正交向量)施密特正交规范化：a,a,a线性无关，123⎧⎪β=α⎪11⎪(α，β)21正交化：⎨β2=α2-()β1β，β⎪11⎪(α，β)(α，β)3231⎪β3=α3-β2-β1(β，β)(β，β)⎩2211βββ123单位化：η=η=η=123βββ12

3、3（2）判断n维向量组a,a,...,a的线性相关性:12s①s>n时，⇒a,a,...,a必相关；12s⎧=0⇔a,a,...,a线性相关12s②s=n时，⇒a1,a2,...,as⎨；⎩≠0⇔a1,a2,...,as线性无关34⎛x1⎞⎜⎟⎜x2⎟③s

4、线性表示（表出）重要定理:定理1：向量组a,a,...,a线性相关，12s⇔存在不全为零的数k,k,...,k是使得12ska+ka+...+ka=0；1122ss⎛k1⎞⎜⎟⎜k2⎟⇔(a,a,...,a)=0，k,k,...,k不全为零；12s⎜⋮⎟12s⎜⎟⎜⎟k⎝s⎠⎛x1⎞⎜⎟⎜x2⎟⇔其次线性方程组(a,a,...,a)=0有非零解（Ax=0）；12s⎜⋮⎟⎜⎟⎜⎟x⎝3⎠⇔向量组的秩r(a,a,...,a)

5、2⎞⎛as⎞定理3：a1,a2,...,as线性无关⇒⎜⎟,⎜⎟,...,⎜⎟线性无关.⎜⎟⎜⎟⎜⎟βββ⎝1⎠⎝2⎠⎝s⎠定理4：向量β可由a,a,...,a线性表出12s⇔β=ka+ka+...+ka；1122ss⎛k1⎞⎜⎟⎜k2⎟⇔β=(a,a,...,a)；12s⎜⋮⎟⎜⎟⎜⎟k⎝s⎠⎛x1⎞⎜⎟⎜x2⎟⇔非次线性方程组(a,a,...,a)=β有解；12s⎜⋮⎟⎜⎟⎜⎟x⎝3⎠⇔向量组得秩r(a,a,...,a)=r(a,a,...,a，β).12s12s定理5：a,a,...,a线性相关⇔（至少）有一个向量是

6、其余向量的线性组合.12s定理6：如果a,a,...,a线性无关，a,a,...,a,β线性相关，则β可由a,a,...,a线性表出且表出唯一.12s12s12s定理7：设β,β,...,β可由a,a,...,a线性表出，则r(β,β,...,β)≤r(a,a,...,a).12s12s12s12s35定理8：如果向量组β,β,...,β可由a,a,...,a线性表出，且s>t，那么β,β,...,β线性相关.12s12t12s（4）极大线性无关组及向量组的秩:设有向量组α,α,...,α，其中有α,α,...,α满足：1

7、2si1i2ir①α,α,...,α线性无关，α,α,...,α,α线性相关，则称：α,α,...,α为向量组i1i2iri1i2irji1i2irα,α,...,α的一个极大线性无关组.12s②向量组的秩：向量组中的一个极大线性无关组中的向量个数.（5）关于矩阵秩的重要结论:TT①r(A)=r(A)=r(AA)；②r(A)=r(kA)（k≠0）；③r(A±B)≤r(A)+r(B)；④r(AB)≤min{r(A),r(B)}⇔r(AB)≤r(A)，r(AB)≤r(B)；⑤AB=0⇒r(A)+r(B)≤n；m×nn×s⎧nr

8、(A)=n*⎪⑥r(A)=⎨1r(A)=n−1；⎪⎩0r(A)