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1、§2.3函数的单调性与最值决策指导高效精讲·知识备考●函数的单调性（1）增函数、减函数和单调区间①对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.②对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.③如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间.④函数若在某区间内单调递增，那么它的图象在这个区间内自左至
2、右上升，若在某区间内单调递减，那么它的图象在这个区间内自左至右下降.（2）对函数单调性概念理解须注意的两点①函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.例如函数y=在（－∞，０）和（０，＋∞）内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即（－∞，０）∪（０，＋∞）内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为（－∞，０）和（０，＋∞），不能用“∪”．在增（减）函数的定义中,x1,x2的任意性是非常重要的，绝不能忽视.因为，这在本质上，就是把比较区间上无限多个函数值的大小的问题转化为两个任意值的大小.（3）判断函数单调性的方法①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复
3、合函数单调性判定方法：在复合函数y=f［g(x)］中，若u=g(x)在区间［a,b］上是单调增（减）函数，y=f(u)在区间［g(a),g(b)］上（或在区间［g(b),g(a)］上）是单调增（减）函数，那么复合函数y=f［g(x)］在区间［a,b］上一定是单调函数，它的增减性如下表规律：“同增异减”.●函数的最大(小)值（1）函数最值的概念对于函数y=f(x)定义域I内的每一个x值,如果存在常数M,使得f(x)≤M（或f(x)≥M）恒成立，且存在x0∈I，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大（或最小）值.(2)求函数最值的方法①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配
4、方法.②利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用单调性求最值.③基本不等式法:当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法.④导数法:当函数较复杂(如指、对数函数与多项式结合)时，一般采用此法.⑤数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.考点精练自主探究·基础备考1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=解析：分别为一次函数、二次函数、反比例函数，从它们的图象可以看出在（０，２）上都是减函数．答案：B2.若函数y=ax与y=在（０，＋∞）上都是减函数，则上是()A.增
5、函数B.减函数C.先增后减D.先减后增答案：B3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，则实数a的取值范围是()A.［-3,+∞)B.(-∞,-3］C.(-∞,3］D.［3,+∞)解析：f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=1-a,∴f(x)在(-∞,1-a］上是减函数，要使f(x)在区间(-∞,4］上是减函数，则只需1-a≥4，即a≤-3.答案：B4.函数y=f(
6、x+2
7、)，若y=f(x)在定义域R上是减函数，则函数y=f(
8、x+2
9、)的单调减区间是()A.RB.(-2,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)解析：已知y=f(x)在R上是减函
10、数，又令u=
11、x+2
12、,当x＞-2时，u=x+2是增函数，当x≤-2时，u=-x-2是减函数.由复合函数的单调性可知y=f(
13、x+2
14、)的单调减区间是（-2,+∞）.答案：B5.若一次函数y=f(x)在区间［-1,2］上的最小值为1，最大值为3，则函数f(x)的解析式为__________.易错指津自我完善·误区备考易错点一忽视定义域导致解题失误自我诊断①已知函数则此函数的单调递减区间是__________.解析：易知函数的定义域为(5,+∞)∪(-∞,1)，由复合函数的单调性复合原则可知只需确定函数g(x)=x2-6x+5在定义域上的增区间即可，比增区间即为整个函数的递减区间.答案：（5
15、，+∞）易错点二忽视分段函数分点函数值的讨论致误自我诊断②已知函数上单调递减，则实数a的取值范围是（）解析：依题意可知a应满足条件答案：C易错点三方法选择不当导致解题失误自我诊断③函数的最小值为__________.题型技法互动探究·方法备考题型一函数单调性的判定与证明【例1】试讨论函数的单调性（其中ａ≠０）．规律方法：证明函数单调性的常用方法：（1）定义法；（2）导数法.创新预测1讨论函数的单调性。题型
