平行关系的证明

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1、平行关系的判定与证明一、知识梳理：1、平行关系：（1）直线与平面平行：直线与平面没有公共点，称直线平行于平面，记为判定定理：___________________________符号表示：__________________________性质定理：__________________________符号表示：_________________________(2)平面与平面平行：平面与平面没有公共点，则称平面与平面平行，记为判定定理：___________________________符号表示

2、：__________________________性质定理：___________________________符号表示：__________________________2、常见平行关系：（自己用符号表示）（1）、平行于同一条直线的两条直线平行。（2）、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。（3）、如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的平面与该平面相交，则这条直线和交线平行。（4）、如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个平面的交线平行。（5）、两平面平行且同时和第三个平面

3、相交，那么它们的交线平行。（6）、平面外一条直线平行与平面内一条直线，则该直线与此平面平行。（7）、两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（8）、平面外两条平行线，如果其中一条平行于该平面，则另一条也与此平面平行。（9）、一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则两个平面平行。（10）、一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。（11）、垂直于同一条直线的两个平面平行。（12）、同时平行于第三个平面的两个平面平行。二、典例精析考点一直

4、线与直线平行的判定判定直线与平面平行，主要有以下几种方法：（1）平几法；（2）线线平行法；（3）线面平行法；（4）面面平行法；（5）线面垂直法；（6）向量法。1、如图2－72，棱长为的正方体中，E、F分别是、的中点，（1）求证：、、、四点共面；（2）求四边形的面积．ABCDA1D1C1B1FEHG⑴证明：如答图所示，连结B1D1，在△C1B1D1中，C1E＝EB1，C1F＝FD1，∴EF//B1D1，且EF＝B1D1，又A1AB1B，A1AD1D，∴B1BD1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形.

5、∴B1D//BD，EF//BD，∴E、F、D、B四点共面⑵由AB＝a，知BD＝B1D1＝a，EF＝a，12DF＝BE＝＝，过F作FH⊥DB于H，则DH＝∴FH＝四边形的面积为＝2、（11年安徽本小题满分12分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△，△，△都是正三角形。（Ⅰ）证明直线∥；（Ⅱ）求梭锥—的体积。12考点二直线与平面平行的判定判定直线与平面平行，主要有三种方法：（1）利用定义（常用反证法）；（2）利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没

6、有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。（3）利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。（4）向量法注：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。1、右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，。（1）设点是的中点，证明：；（2）求此几何体的体积；（1）证明：作交于，连．则．因为是的中点，所以．则是平行四边形，因此有．平面且平面，则面．（2）因为，

7、所以．．所求几何体体积为．2、（2009·浙江）如图，DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=,P、Q分别为AE、AB的中点.(1)求证：PQ∥平面ACD(2)求AD与平面ABE所成的角的正弦值.（Ⅰ）证明：连接，在中，分别是的中点，所以，又，所以，又平面ACD，DC平面ACD，所以平面ACD（Ⅱ）在中，，所以而DC平面ABC，，所以平面ABC12而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以所以平面ABE，所以直线A

8、D在平面ABE内的射影是AP，所以直线AD与平面ABE所成角是在中，，所以3、(2009山东卷理)（本小题满分12分）EABCFE1A1B1C1D1D如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（1）证明：直线EE//平面FCC；（2）求二面角B-FC-C的余弦值。解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，EABCFE1A1B1C1D1DF1OP连