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1、第二章平稳时序模型本章主要内容1．平稳序列的概念；2．线性记忆系统和ARMA模型的记忆特征3．基本分析工具4．平稳ARMA模型的自相关函数；5．平稳ARMA模型的偏自相关函数；6．平稳ARMA模型的优选方法。第一节ARMA模型的定义定义2.1满足如下条件的序列称为严平稳序列∀正整数m,∀t,t,L,t∈T，∀正整数τ，有：12mF(x,x,L,x)=F(x,x,L,x)t1,t2Ltm12mt1+τ,t2+τLtm+τ12m定义2.2满足如下条件的序列称为宽平稳序列2)1EX<∞,∀t∈Tt)2EX=μ,μ为常数，∀t∈Tt)3γt,(s)=γ(k,k+
2、s−t)，∀t,s,k且k+s−t∈T定义2.3满足如下条件的序列称为平稳高斯序列：1）Z是正态分布；t2）对任意的k,t,t,L,t，概率密度函数ρ(z,z,L,z)和ρ(z,z,L,z)12mt1t2tmt1+kt2+ktm+k是相同的。严平稳与宽平稳的关系∑一般关系y严平稳条件比宽平稳条件苛刻，通常情况下，严平稳（低阶矩存在）能1推出宽平稳成立，而宽平稳序列不能反推严平稳成立∑特例y不存在低阶矩的严平稳序列不满足宽平稳条件，例如服从柯西分布的严平稳序列就不是宽平稳序列y当序列服从多元正态分布时，宽平稳可以推出严平稳平稳时间序列的统计性质正确理解这个
3、定义的确切含义和性质，从定义可知：密度函数不依赖于时间的起点，所有的Z都有相同的均值和相同的方差，如果{Z}的二阶矩存在，则{Z}的ttt协方差只与时间间隔有关。第二节ARMA模型的记忆特性2.1线性记忆系统；例1：假设某人犯有高血压，且正在服用一种特殊的药来控制血压水平，记{x}是t指标序列，即⎧,1如果在t时服药xt=⎨⎩,0其他我们能认为{}x是系统得激励或输入，记{y}是系统的响应或输出变量，假设在tt时刻t=3时服用了药，可能有如下几种不同的响应。xtt=3(a)t=3yt2(b)t=4(c)这三种响应能分别用下列模型表示：(a)y=ψxt0t
4、(b)y=ψxt1t−1(c)y=ψx+ψxt0t1t−1更一般的形式是：y=ψx+ψx+L+ψx+L（2.1）t0t1t−1jt−j这个系统是线性记忆系统，其中ψ叫第j步的记忆系数，记忆系数的集合j(ψ,ψ,L,ψ,L)叫记忆函数，表达式（2.1）叫做线性传递函数模型。01j当然，在实践中不一定正好是指标变量，在不同的时刻可以有不同的值。例2：假设广告{x}对销售量{y}的动态影响能够用下列模型表示：tty=5.0x+0.2x+xttt−1t−2这里，记忆函数为{}1,0.2,5.0若在时刻3、5、6、9分别做了1、2、1、1个单位的广告，则{x}如下
5、所t示：33210012345678910111213t则{y}对各时间的广告的响应为t1234567891011121330.52.01.051.04.02.060.52.01.090.52.01.0总0.00.00.52.02.04.54.01.00.52.01.000总的响应用图形表示为：54.543.532.5y21.510.50-0.502468101214t非常清楚，（2.1）式所示的线性动态模型的输出序列{y}的行为依赖于：t*输入序列{x}t4*记忆函数(ψ,ψ,L,ψ,L)01j2.2时间序列的记忆模式对于平稳的时间序列，从原理上可以用
6、如下记忆模式表示：Z−η=a+ψa+L+ψa+L（2.2）tt1t−1jt−j其中{a}是独立同分布的白噪声序列，是不可观测的序列，是外界随机的冲击；t{Z}是可观测的序列，η是它的均衡水平。t例：假设Z表示某户人家在第个月的花费，正常水平为tη。在第t个月，家庭受t到颇大的正的振动a的冲击（例如说两个婚礼邀请和一些牙科账单），导致他们的花t费实质性的增长，为了弥补超支，在接下来的几个月家庭的花费会低于正常水平η。对于这个家庭来说，记忆系数(ψ,ψ,L,ψ,L)将是负的，且逐渐接近于0。01j虽然线性动态关系（2.2）式很普遍，且能表示许多真实的状况，但
7、当有很多非0的记忆系数ψ时，实际处理起来就变得很困难。这是因为数据量经常是有限的，随着j参数的增加，估价问题就变得越来越突出。解决的一个方法就是按照少数几个基本参数来表示记忆系数ψ。jj例如：ψ=φ，模型（2.2）就变成jjZ−η=a+φa+L+φa+L（2.2a）ttt−1t−j在这种情况，虽然记忆能够持续相当长的周期，但所有系数是一个参数的函数。正是基于吝啬考虑，20世纪20年代，Yule，然后是Slutsky，发明了对平稳序列非常有用的吝啬模型。*滑动平均模型MA（MovingAverageModels）*自回归模型AR（Autoregressiv
8、eModels）52.3MA（滑动平均）模型的记忆特征MA（1）Z−η=a−θa
