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1、证明题一、方程的根例如：又例：证明方程，在区间内有两个实根第20页共20页（3）利用罗尔定理证明方程的根存在把所给方程一端减去一端，再把变量ξ换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。二、证明不等式第20页共20页例如（3）利用函数图形的凹凸性证明不等式例如证第20页共20页（4）利用拉格朗日中值定理（罗尔定理）证明不等式。把式子变形出现两个函数值之差，构造函数，确定在所给范围内满足拉格朗日中值定理，求出导数，对导数进行放大和缩小例如以上方法的共同特点是：选取变量构造
2、辅助函数，研究辅助函数的单调性、凹凸性、极值等。构造辅助函数的基本思想是：从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。在做此类题时，证明代数式不等式一般用中值定理；证明函数不等式一般用单调性；证明函数与数之间的不等式一般用最大、最小值求证。三、证明等式成立（1）利用罗尔定理（拉格朗日中值定理）证明等式成立把所给等式一端减去一端，再把变量ξ换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。例如第20页共20页（2）其它举例1.设，试证，并计算.证
3、明：;即有，故.，而，所以.2.证明：设上连续，有：证明：令，则，；于是，有：第20页共20页3.若函数在上连续，在内可导且，试证：至少存在一点，使得成立.证明：构造函数，因在上连续，所以函数在上也连续，而在内有意义，又因为，，所以在上满足罗尔中值定理，故至少存在一点，使得，即，而.所以有成立。4..证明方程在区间内有唯一实数根．证明：令，则在上有意义，即有在上连续；而，由零点定理知，至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个实数根．另一方面，，知在内是单调上升的，从而方程在内至多有一个实数根．综述，方程在内有唯一实数根，即方程在区间内有唯一
4、实数根。5.、证明题第20页共20页当时，提示：令在上满足拉格朗日中值定理。6.求证：当证：设所以单调增加所以7.证明:方程ln（1+x2）=x－1有且仅有一个实根.证：由故方程的成立范围为[1，+∞）；令F(x)=ln(1+x2)―x+1,因，F′(x)=所以，函数是单调递减的.又，当x=1时，F（1）=ln2>0，,又，∴曲线y=F(x)与x轴有唯一的交点；第20页共20页即方程有且仅有一个实根.得证.8.证明：。证明:构造函数显然在区间上满足拉格朗日定理的条件，即,其中显然有，故成立.9.证明：构造函数，----（1分）由于在有意义，
5、所以函数在连续且可导，且，即在上满足罗尔中值定理，-----（4分）故存在，使得，即.------（5分）10.试证：当时，.第20页共20页证明:构造函数,---（1分）显然，函数在上连续且可导,满足拉格朗日定理,从而存在使得-----（3分）即---（4分）由因为,-----（5分）故.----（6分）11.对于任意，试证：都成立.证明:构造函数,则令,得唯一驻点,又因为，所以函数曲线是凹的，且在处有最小值.所以即恒成立.说明：利用单调性证明不等式，其基本方法是：若要证明：当有.可令，如果满足下面的条件：（1）；（2）当时，有；则由为单
6、调增加函数可知，当时，，即.例如：设，，，（x>0）,求证第20页共20页.证：12.设在点处连续，且（为常数），证明在点处可导；证，则，又因为在点处连续，所以，则，于是，所以在点处可导，且．13.证明：当时,；证一令，则，，第20页共20页，所以在上连续且单调增加，则，所以在上连续且单调增加，则，所以在上连续且单调增加，则，即，也即．证二令，则，当时，有，所以当时，函数单调增加，有，即，也即．14.证明.第20页共20页证令,则,，且当时，;当时，.于是===．15.设在上有连续导数，且,，求证;证一，移项，有，所以．证二，即．16第20
7、页共20页17.最大值第20页共20页18.19设函数，且在x=1处连续，试证明在x=1处可导。20证明：当x>0时，有2174证明：当x<1时，有22设在区间[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且，，证明：在（a,b）内有第20页共20页23若连续，证明20012002证明题（6分） 试证：对任意自然数，方程在第20页共20页内有唯一实数根。证明：设，则显然在上连续，且 ，，根据连续函数介质定理，至少存在一点，使．即，也就是 ．可见是原方程的根． 又因为在内恒有，在上严格递增，故唯一．2003证明题证明：当时，2004 证明：当
8、时，2005五、证明题（6分）试证：当时，有.证明：构造函数，它在内连续，当时，函数在区间上连续，且.第20页共20页故在上满足Lagrange中值定理,存在,使得，.而,故有,
