数学教师的“三项基本功”

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1、数学教师的“三项基本功”郑毓信（2012）简介1965年毕业于江苏师范学院数学系；曾在中学长期任教；现为南京大学哲学系教授、博士生导师。1992年起享受政府特殊津贴。主要研究领域：数学哲学；科学哲学；数学教育与科学教育。已出版著作28部，发表论文300多篇。背景：课改十年的必要总结与反思聚焦教学观摩：“外行看热闹，内行看窍门。”更为一般的结论：“立足专业成长，关注基本问题。”（2010）进一步的思考：一线教师如何实现自己的专业成长？问题的细化数学教师是否应当具有自己特殊的基本功？数学教师的三项基本功：（1）善于举例；（2）善于提问；（3）善于比较与优化。一些具体工作

2、郑毓信，“数学教师的三项基本功”，《人民教育》，2008年第18、19、20期连载，并已被收入“《人民教育》创刊60周年系列丛书”。郑毓信，《数学教师的三项基本功》，江苏教育出版社，2011基本定位“三项基本功”集中地反映了数学与数学教学（教育）的特殊性。“三项基本功”并非单纯的技能，而是专业能力的集中表现；特别是，就只有联系深层次的教学思想和教育思想我们才能真正理解它们的内涵和意义。我们并应依据自己的个性特征创造性地加以应用。一、“善于举例”与数学教学从“什么是数学”谈起？一个基本论点：“数学：模式的科学”（mathematics：thescienceofpatt

3、erns）数学所反映的不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。进一步的分析数学基本特性：抽象性。“善于举例”的两个具体涵义：（1）如何能为抽象的数学概念举出适当的实例？（2）如何能够帮助学生由具体实例抽象出相应的数学概念？插入：学习心理学研究的相关结论“概念定义”与“概念意象”的必要区分。概念意象的多元性：它“由所有的相关实例、反例、事实和关系组成。”（维纳与赫什科威兹，1980）（1）什么是“适当的例子”？标准之一：相对于学生的可接受性；标准之二：典型性，即是能为相应的数学抽象提供必要的基础。这方面的一个基本事实：举例并非一件易事

4、。[例1]“范例教学法”（R.Davis)为了帮助学生掌握负数的概念，特别是有理数的运算（如4-10=?），教师采用了一个装有豆子的口袋，再在桌上摆上一些豆子。教师先在口袋中装入4棵豆子，同时在黑板上记下“4”这样一个数字；然后从口袋中拿出10棵豆子，这时黑板上就出现了“4-10”这样一个算式。教师接着提问：（1）现在口袋里的豆子与一开始相比是变多还是变少了？（2）少了多少？…相关的分析这些实物和动作对于学生来说都是十分熟悉的。好的“认知基础”并应具有这样的性质：它能“自动地”指明相关概念的基本性质或相关的运算法则。这就是指，借助于这一实例学生可以顺利地作出相应的发

5、现。如学生在此显然就可借助所说的实例顺利地实行4-10、5–8等运算，而无须依赖于对相应法则的机械记忆。[例2]“植树问题”的教学如何看待“植树问题”的教学？特别是，这一问题所发挥的究竟是案例的作用，还是其本身就体现了一些十分重要的规律？我们在教学中应当更加关注如何能以“植树问题”为背景抽象出普遍的数学模式：“分隔问题”。（2）如何帮助学生由实例抽象出相应的数学概念？关键之一：去情境；教学辩证性与艺术性：范例的作用与必要的抽象；相关理论：“变式理论”（“概念变式”）。核心思想：如何通过适当的变化与比较帮助学生掌握概念的本质。“概念变式”的主要内容：（1）“标准变式”

6、与“非标准变式”：教学中不应局限于平时经常用到的一些实例，而应有意识地引入一些“非标准变式”，从而就可防止学生将相关实例的一些非本质特性误认为概念的本质特性。（2）“概念变式”与“非概念变式”：“非概念变式”大致地就相当于“反例”，这也就是指，除去“正例”以外，我们在教学中还应给出若干“反例”，这样通过对照就可帮助学生更好掌握概念的本质。[例]“认识分数”引入：“分蛋糕”。教师并通过简短讨论引出了这样一个结论：“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。”问题：如何以“变式理论”（概念变式）为指导设计教学从而帮助学生较好掌握分数的本质？（1）分割的对象显然未必一定要

7、是蛋糕，也可以是纸片或别的什么东西；对于分割对象的外形我们也不应作任何限制：它们既可以是圆形，也可是方形或任何其它形状。（2）对分割方法也可作出一定变化。如就长方形纸片的分割而言，可以横着折，也可以竖着折，还可钭着折；另外，除去各个“正例”以外，我们也应引入一定的“反例”，如按照中位线分割的梯形等（3）作为进一步的抽象，我们又应由1/2逐步扩展到1/3，1/4，……乃至2/3，3/4，……。从而，如果仍然集中于“将一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2”这一论述，我们就可以说，除去分割的对象与方法以外，我们也应对“平均分成两份”中的“两份”以及所说的“每份”作出