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1、第一节矩阵的特征值与特征向量第五章1.概念的引入2.特征值与特征向量的求法3.特征值与特征向量的性质4.矩阵的对角化5.小结6.思考与练习7.背景材料介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰-2-1990年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒临灭绝的危险。数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研究,并建立了种群模型形如的差分方程。这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量出现的背景
2、要广泛的多,还被用来研究连续动力系统,为工程设计提供关键知识.另外还出现在物理、化学等领域。1.相似关系定义:-3-性质:(反身性)(对称性)(传递性)∽∽∽∽记作(1)(2)(3)∽∽∽一、特征值与特征向量的定义引入.假设∽即存在可逆矩阵，使得：定义.-5-特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙！注意.特征向量特征值问题仅对方阵而言。若存在设则称为的特征值,为的属于特征值的特征向量。-6-二阶方阵特征值的几何意义二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的方向上的放大量。把方程例如,中的看成输入变
3、量,看成输出变量,则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.特征值为对应的特征向量为由知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。-7-所以u是对应于特征值-4的特征向量。易证给定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判断给出的数是否是特征值。例1.设判断是否是的特征向量？解：容易验证v不是A的特征向量.(也可从图看出)例2.-8-设阶方阵满足：求的特征值.解：注2.-9-注1.可类似证明,的特征值只能是零。则(1)若则(2)若的特征值只能是1或-1。(1)设是的特征值,为任一多项式,则是的特征值。(2)设是的特征值,必为的特征值。(3)设是的特征值,且非奇异,则为的特征
4、值。-10-二、特征值、特征向量的求法(1)定义.(2)的非零解.是即特征向量称为A的特征方程,其根为A的特征值.-11-特征值与特征向量的求法：即对应于特征值的线性无关的特征向量.例3.求矩阵-12-的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程为-13-(2)求的特征向量：当-14-当同解方程组为得基础解系为即为时的线性无关的特征向量.同解方程组为-15-得基础解系为：即为时的线性无关的特征向量。同理得对应于时的线性无关的特征向量为：例4.-16-求矩阵的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程为-17-
5、(2)求的特征向量：当同解方程组为：对应的线性无关的特征向量为：-18-当同解方程组为对应的线性无关的特征向量为三、特征值与特征向量的性质-19-证:-20-于是,∽∽(2)从而，A与B的特征值也相同.-21-注1.注2.用处在于已知n-1个特征值,求最后一个特征值。-22-定义.-23-四、矩阵的对角化定义.定理1.∽证:即存在可逆矩阵使得由特征值与特征向量的引入知,假设-24-定理2.推论.-25-定义.设是的特征值,对应的线性无关若令的特征向量分别为线性无关,且有称为将矩阵对角化的变换矩阵。它的每一列是的特征向量。-26-例5.（对于例3中的矩阵)判别是否可
6、对角化,若可以,求出变换矩阵.解:由例3知,-27-所以，A可对角化。且变换矩阵为-28-解:例6.（对于例4中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出变换矩阵.由例4知,-29-所以A可对角化,且变换矩阵为且-30-例7.三阶方阵满足：求已知向量:解：由题设知,所以对应的特征向量为且线性无关，所以A可对角化,故相似于对角阵.令-31-则有故-32-注：这是常用的求方阵幂的方法.-33--34-特征值与特征向量的应用例如,求解常系数线性方程组的初值问题：其中，解：步骤(1)求A的特征值1，-2;(2)特征向量;(3)写出解,从而在平面上画出轨迹.离散动力系统连续动力
7、系统-35--36-本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开特征值与特征向量的定义;求法;性质;矩阵的对角化。1.-37-解：分析：若3阶矩阵A使得所以，A的全部特征值为0,3,-1。则A的全部特征值为_____.综合题.考查矩阵特征值概念及行列式的简单性质。-38-因为A与B相似,而相似矩阵有相同的特征值,2.已知3阶矩阵A与B相似,A的特征值为1,1/2,1/3,则行列式解：又因为A的特征值为1,1/2,1/3,所以B的特征值为1,1/2,1/3。的特征值为1,2,3。的特征值为2,3,4。3.-39-解：(1)求的特征值：的全部特征值与对应的求矩阵线性无关的特
8、征向量。-
