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1、初中数学竞赛训练题1.（1）如图所示，四边形ABCD为正方形，点G在DC延长线上，且四边形CEFG也为正方形，连DE交BG于点H，求证：点H在AF上（2）推广到一般情况，如图所示，若点G不在直线DC上，其他条件不变，求证：点H在AF上解析：（1）法一：本小题可采用第（2）题的方法。法二：证点H在AF上不妨考虑构建平面直角坐标系，表示A,H,F三点坐标即可。（2）证A,H,F三点共线即证∠AHB=∠GHF，经观察易知，∠AHB=∠GHF=45°，所以下面只需求出这两个角的度数即可。不难发现BG⊥DE，则A,B,H,D四点共圆，则∠AHB=∠ADB=45°，类似地可
2、得到∠GHF=45°。答案：（1）解析法：以D点为原点，DC为x轴，AD为y轴构建平面直角坐标系设AD=1，CG=a则易知A（0,1），G（a+1,0），B（1,1），C（1,0）E（1，a），F（a+1，a）设直线DE解析式为y=kx∴k=a∴DE:y=ax同理可得，BG：y=-1/a+1+1/a，AF：y=（a-1）x/(a+1)+1又DE:y=ax交BG于点H∴H{（a+1）/（a²+1）,(a²+a)/(a²+1)}又AF：y=（a-1）x/(a+1)+1将点H坐标代入直线AF得点H在AF上（2）证平角：∵∠DCB=∠ECG=90°∴∠DCE=∠BCG所
3、以△DCE≌三角形BCG（SAS）∴∠CDE=∠CBG∴∠DCB=∠DHB=90°又∠DAB=90°∴∠DAB+∠DHB=180°∴A,B,H,D四点共圆∴∠AHB=∠ADB=45°同理可得，∠GHF=∠GCF=45°∴∠AHB=∠GHF∴点H在AF上总结：①本题第（1）小题可采用第（2）小题的方法。②本题第（2）小题中证明∠AHB=45°的方法还有很多，可以过A向DH,BH作垂线证AH平分∠DHB。2.如图所示，点M为四边形ABCD边BC中点，2S△ABM=S四边形ABCD，求证：AB∥CD解析：处理四边形ABCD面积的方法不宜采用分割法，否则会破坏△ABM的
4、完整性，而应该采用补形法，M点为中点，所以中线倍长AM。答案：如图所示，延长AM至E使M为AE中点，连DE,CE又∵M为BC中点∴四边形ABCE为平行四边形∴AB∥CE，S△ABM=S△ECM∴S四边形ABCD=S四边形ADCM+S△MCE∵M为AE中点∴S△ADM=S△DME=½S△ADE又2S△ABM=S四边形ABCD∴S四边形ADE=S四边形ABCD又S四边形ABCD=S四边形ADCM+S△MCE∴S△DCE=0∴D,C,E三点共线由AB∥CE可得AB∥CD总结：证明三点共线的方法除了证平角之外，还可以证其面积为零，类似方法的题目可见1996年全国初中数学
5、联赛题：求证：如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形内心3.如图所示，点A在双曲线y=k/x(k＞0)上，过O作OB⊥OA交y=-k/x于点B，求证：OA=OB解密:OA,OB均为斜向线段，应将斜向线段化为水平线段，故过A,B作x轴垂线，通过全等来证明OA=OB，答案：过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N法一：相似形：易知S△AOM=S△BON=2/k易证△AOM∽△BON∴S△AOM/S△BON=(OA/OB)²=1∴OA/OB=1即OA=OB法二：解析法：设A(a，ma)∴OA：y=mx，k=ma²∵OA⊥OB∴OB：y
6、=x/m又B在y=-ma²/x上∴B（-ma，a）又A（a，ma）∴OM=BN=a，ON=AM=ma∴△AOM≌△BON（SAS）∴OA=OB总结：法二应用了“两直线垂直，斜率乘积为-1”这一结论。4．如图所示，AD平分∠BAC，若AB/BD=AC/CD，求证：AB=AC解密：由AB/BD=AC/CD可得AB/AC=BD/CD，注意到AD为角平分线，角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，所以延长AD与BC相交。答案：延长AD交BC于E过C作CF∥AB交AE于F过C作CG∥BD交AF于G∴△ABE∽△FCE△BED∽△CEG∠BAD=∠F=∠CAD
7、∠BED=∠CGE∴AC=FCAB/FC=BE/ECBD/BE=CG/CE∴AB/AC=BE/EC又AB/BD=AC/CD∴AB/AC=BD/CD∴BD/BE=CD/CE又BD/BE=CG/CE∴CD=CG∴∠CDE=∠CGD=∠BDE∴∠ADB=∠ADC又∠DAB=∠DAC∴△DAB≌△DAC∴AB=AC总结：本题应用了角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例的性质，希望同学们多多注意。5.如图所示，在四边形ABCD中，DC＞AB，AC交BD于O，∠BAD+∠BCD=180°，AC=BD，求证：四边形ABCD为等腰梯形。解密:本题的条件不多，并未告
8、诉AB∥DC，所以欲证A
