轴对称综合提高

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1、年级初二学科数学编稿老师巩建兵课程标题轴对称综合提高一校张琦锋二校林卉审核王百玲一、考点突破本讲内容在中考题中以考查轴对称的性质、轴对称图形的作法、等腰三角形的性质与判定的综合运用为重点，所占分值在10分左右．要求学生具有较强的观察能力、作图能力、综合分析能力，大多数题目难度不大，与实际生活的联系更加密切，灵活性很强．轴对称在中考题中的比例有逐年增大的趋势，以等腰三角形的性质、判定为核心来探究问题，这也是中考考查的一个重要知识点．二、重难点提示线段、角、等腰三角形、等边三角形的轴对称性是本讲内容的重点，

2、而等腰三角形的性质是重中之重．发展合情推理，进一步学会有条理地思考和表达，把已知条件、图形、定理结合起来理解是本讲内容的难点．一、知识脉络图二、知识点拨1.非等腰三角形中边角的不等关系：在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边对大角；如果两角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角对大边．可利用图①和图②证明这两个事实．第14页版权所有不得复制2.平面直角坐标系中，关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征：如图③，如果点A的坐标是（a，b），那么点A关于一、三象限角平分线对称的点B的坐

3、标是（b，a），关于二、四象限角平分线对称的点C的坐标是（－b，－a）．点A在其他象限时这一规律仍然成立，只要两点关于一、三象限角平分线对称，其横、纵坐标互换位置；关于二、四象限角平分线对称，其横、纵坐标变号后互换位置．能力提升类例1已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD为BC边上的高，P点在AC上，E点在AD上，若PE＋EC的最小值为4，则△ABC的面积为（）A.8B.16C.32D.64一点通：设点P关于AD的对称点为点P’，则点P’一定在AB上，且CP’⊥AB时P’E＋EC的值最小

4、，即PE＋EC的值最小．所以在Rt△ACP’中∠BAC＝30°，AC＝2CP’＝8，所以AB＝8，CP’＝4．所以S△ABC＝AB·CP’＝×8×4＝16．答案：B点评：线段最短问题一般与轴对称有关，解答本题的关键是通过作某线段端点的对称点，将两条线段之和的最小问题转化为点到直线的距离问题．本题有两种作法：一、作点P关于AD的对称点P’第14页版权所有不得复制；二、作点C关于直线AD的对称点，由等腰三角形的对称性可知，这个点就是点B，连结BE即可．例2已知点A（－2，4）、B（2，4）、C（－1，2）、

5、D（1，2）、E（－3，1）、F（3，1）是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中能找出__________组对称三角形．一点通：本题考查平面直角坐标系中点的轴对称问题，很明显△ACE和△BDF关于y轴对称．本题的难点在于确定是否还有其他的对称三角形，因为这6个点可以组成很多三角形，还应注意，这样的对称三角形是把6个点分成两组，两组中不能有重复的点，如△ABC和△BAD虽然关于y轴对称，但不符合

6、题意．答案：4，如图所示：点评：根据本题要求，解答时有一个规律：首先在y轴左侧任选两点，然后选第三点组成三角形，第三点只能是y轴左侧剩下的那一点或它的对称点，即△ACE与△BDF，△ACF与△BDE等，共6组，其中△ACE与△BDF重复出现3次，所以一共有4组对称三角形．如果不按规律，则很容易造成漏解．综合运用类例3如图所示，把正方形纸片ABCD对折后打开，折痕为MN，再把顶点D折到MN上的一点P上，折痕为CE，把顶点A折到MN上的同一点，折痕为BF，请回答下列问题：（1）线段PC、PB与正方形的边长有

7、什么关系？（2）∠CPB的度数是多少？（3）还能知道哪些角的度数？请指出来．第14页版权所有不得复制一点通：此题利用轴对称图形的性质，首先得到折痕（对称轴）MN，又得到折痕EC、BF，它们所在的直线都是对称轴，即△CPE与△CDE关于CE所在的直线对称，△ABF与△PBF关于BF所在的直线对称，根据轴对称的性质可得到对应边相等，对应角相等，从而得出△PBC是等边三角形这个事实．答案：（1）由折叠的性质得：线段PC、PB均等于正方形的边长，PC＝PB；（2）由（1）可知，PC＝PB＝BC，所以△PBC是等

8、边三角形，所以∠CPB＝60°；（3）由（1）、（2）可知：∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∠5＝∠6＝30°，∠7＝∠8＝∠9＝∠10＝15°，∠MFP＝∠MEP＝30°，∠EPF＝120°，∠NPF＝∠NPE＝120°，等等．点评：此题提供了一种通过折叠裁剪等边三角形的方法，要记住哟！例4已知：如图所示，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP＋∠ACP＝180°．求证：PB＋PC＝PA．一点通：欲证PB＋PC＝PA，可考虑