三重积分的各种计算方法

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1、三重积分的各种计算方法计算：fx()y，zdxdydz，.当积分区域的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数fxy()，z，用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标2Fz(dddz，，)(或Fr()drdd，，rsin)计算三重积分比较简单。——重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定

2、积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：_____________________________________________________________________z21.如果先做定积分fx()y，zdz，，再做二重积分Fxyd(,)，就是投影法，也即z1Dxy“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影区域D。过D上一点(xy，)“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D上的二重积分，完成“后二”这一步，zxy2(,)即fxyzdv(,,)=[

3、fxyzdzd(,,)]Dxyzxy1(,)_____________________________________________________________________c22.如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz，就是截面法，也即“先二Dzc1后一”。步骤为：确定位于平面zc=1与zc=2之间，即z[,cc12]，过z作平行于xoy面的平面截，截面D。区域D的边界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分zzzc2f(x,y,z)d，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算

4、定积分F(z)dz，Dzc1完成“后一”这一步，即c2fxyzdxdydz(,,)[(,fxyzd=dz,)]cD1z当被积函数fz()仅为z的函数（与xy，无关），且D的面积(z)容易求出时，“截z面法”尤为方便。_____________________________________________________________________为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系下进行计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)：(1)D是X型或Y型，可选择直

5、角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）；22y(2)D是圆域（或其部分），且被积函数形如fx()(yf+，)时，可选择柱面坐标系计x算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；222(3)是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x+y+z)时，可选择球面坐标系计算。以上是一般常见的三重积分的计算方法，对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数fx(，y，z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌

6、握；截面法（先二后一）：D是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，z故较难一些。特殊地，对Dz积分时，fxyz(,,)与xy,无关，可直接计算SDz。因而中只要z[]a，b,且fxyz(,,)仅含z时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面22所围成的形体；被积函数为仅含z或zfx()+y时，可考虑用柱坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分I=zdxdydz，其中为平面x+y+z=1与三个坐标面xy=z=0=，00，围成的闭区域。解法一：“投影法

7、”1.画出及在xoy面投影域D。2.“穿线”0z1−x−y0x1X型D：0y1−x0x1∴：0y1−x0z1−x−y3.计算Izdxdydz=.11−x1−−xyI==zdxdydzdxdyzdz00011−x12=−−dxxydy(1)2001112231−x=[(1−xy)−(1−xy)+y]dx023011313231411=(1−x)dx=[x−x+x−x]=06624240解法二：“截面法”1.画出。2.z[01]，过点z作垂直于z轴的平面截得D。zD是两直

8、角边为xy，的直角三角形，xz=−yz11=−，z13.计算Izdxdydz==zdxdydz[]0Dz11==z[]dxdydzzSdzDz00Dz1111==−z−xydz()(1)(1z)zzdz220011123=