实数集与函数

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1、第一章实数集与函数实数及其性质（代数性质、有序性、稠密性、Archimedes性质、完备性）B绝对值与不等式A否定法则B区间与邻域A有界数集与无界数集A确界定义，确界原理A确界原理的证明D涉及确界的一些运算B函数定义与表示法，象与原象，一一映射A函数的四则运算A复合函数与反函数概念A求简单的函数的复合函数与反函数A求分段表示的函数的复合函数与反函数B初等函数A无理指数幂D有界函数、无界函数及对简单的函数的判定A单调函数、严格单调函数及对简单的函数的判定A奇、偶函数及其判定A周期函数及对简单的函数的判定A注：1.

2、本书第1页对实数次序的定义有缺陷，不讲为宜。2.建议在本章教学中增加介绍否定法则的内容。3.实数系的完备性只作直观理解：实数与数轴上的点一一对应。第二章数列极限数列极限概念与e-N证法A收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、保序性、迫敛性、四则运算）A用四则运算法则与迫敛性求数列极限A用子列证明数列发散A有界单调列定理及其使用，数eA数列的Cauchy准则A用Cauchy准则证明数列收敛B用Cauchy准则证明数列发散C注：1.应增加极限定义的逻辑符号表示及其否定。2.建议在求数列极限时介绍不定式概念，不要延

3、迟到第6章。3.应指出有界单调列定理及Cauchy准则是对实数系完备性的刻划。第三章函数极限x®+¥与x®时函数的极限，单侧极限A其它类型的函数极限Be-d证法Bx®时函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保序性、迫敛性、四则运算）B用四则运算法则求函数极限A用迫敛性求函数极限BHeine定理及用于证明函数极限不存在B单调函数的极限C函数极限的Cauchy准则D,及其简单应用B无穷小量、无穷大量及其阶A用等价无穷小求极限C注：1.应增加极限定义的逻辑符号表示及其否定。2.注意数列极限与函数极限在处理上

4、的一致性。3.建议视情况增加下列内容：用邻域概念统一24种函数极限，复合函数的极限，扩张的实数系4.渐近线仍以放在函数作图之前为宜。第四章函数的连续性函数的连续性、单侧连续及其判定A间断点及其分类B连续函数的局部性质和四则运算B闭区间上连续函数的性质－有界性、介值性、最值性、一致连续性B复合函数与反函数的连续性B初等函数的连续性及基本初等函数连续性的证明A注：一致连续性在前6章没有应用，建议放第七章证明一致连续性定理时学习。第五章导数与微分导数、单侧导数、导函数，与连续性的关系A求导法则（四则运算、复合函数、反

5、函数）A基本初等函数的导数A由参数方程表示的函数的导数B求平面曲线的切线、法线方程B其它应用题C高阶导数及其法则B用定义、分解、Leibniz公式求函数的高阶导数B微分及其法则B一阶微分形式的不变性C高阶微分D注：1.在本章与下章的教学中应注意解决中学数学中的遗留问题。2.微分对近似计算的应用并入Taylor公式。3.建议增加无穷导数及其几何意义。4.极值与Fermat定理、Darboux定理放在求导法则之前不大自然，仍以放中值定理前为宜第六章微分中值定理及其应用极值与Fermat定理ADarboux定理CRo

6、lle定理，Lagrange中值定理A常值函数与单调函数的判定A用函数单调性证明不等式A用Lagrange中值定理证明不等式BCauchy中值定理CL’Hospital法则BTaylor公式及其Peano、Lagrange余项B基本初等函数的Taylor公式A用Cauchy中值定理、Taylor公式证明不等式C用Taylor公式求函数极限BTaylor公式对近似计算的应用D极值的充分条件，极值与最大、最小值的求法A用最大、最小值证明不等式B凸函数及其判定法则，Jensen不等式及其应用B开区间上凸函数的连续性与

7、可微性D拐点，渐近线，函数图象的作法C方程的近似解D注：1.应向学生说明对应用L’Hospital法则时可以只要求g(x)®¥。2.Taylor公式的Lagrange余项的证明，改用对辅助函数使用Rolle定理更为方便，其中C(x)满足.3.讲解第152页例5时应顺便说明左、右可微Þ左、右连续Þ连续，即开区间上的凸函数连续第七章实数的完备性实数完备性命题：①确界原理A②有界单调列定理A③Archimedes性质＋区间套定理A④有限覆盖定理C⑤聚点定理C⑥收敛子列定理（致密性定理）B⑦Archimedes性质＋C

8、auchy准则B实数完备性命题等价性的证明（①Þ②Þ③Þ④Þ⑤Þ⑥Þ⑦Þ①）D用闭区间套定理证明简单命题B用闭区间套定理证明闭区间上连续函数的性质B闭区间上连续函数的性质的其它证明方法C数列的上、下极限D注：到本课程结束时，有限覆盖定理和聚点定理应达到B层次。第八章不定积分原函数与不定积分，基本积分表A分解积分法，换元积分法，分部积分法A有理函数积分法B求简单的有理函数、三角函数有理式