矩阵的秩与矩阵的运算

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1、矩阵的秩与矩阵的运算1．(武汉大学，2005)设E是n阶单位矩阵，证明；2（1）设A，B是n阶矩阵，A=A，且E–A–B是可逆矩阵，则rank（AB）=rank（BA）；2T（2）若A=E–ξξ，其中ξ是n维列向量，是ξ的转置，则ξξ=1的充分必要条件是rank(A)

2、要性假定rank（A）=n，则A是可逆矩阵，由ξξ=1，则ξξ不是n阶零矩阵。TTTTTTAEξξ=−()ξξξξ=−ξξξξξξ()=0T那么ξξ＝0，矛盾。于是rank（A）

3、αα≠0另一方面TTTTTα(A+A)α=αAα+αAα=0矛盾。所以A可逆。2.（大连理工大学，2001）设A为n阶方阵，证明：k−1kk−1（1）如果Aα≠0但Aα=0，则α，Aα，…，Aα（k>0）线性无关。n+1n（2）秩（A）=秩A。2证明：（1）令A=A(I)k−1k−1用A左乘等式两边，那么由Aα≠0，于是x=0，式(I)变成021k−xA(αα)++xA()...+xA(α)=012k−1k−2k−1用A左乘等式两边，则xA()α=0，得x=0.11k−1类似地可以证明xx===L0，所以α，Aα，LAα线性无关。21k−n+

4、1nn+1nn+1（2）假定秩（A）≠秩（A），那么秩（A）<秩（A）。于是AX=0的解不nnn+1全是AX=0的解，则存在非零的n维列向量β，使Aβ≠0，但Aβ=0。n由式(I)可知β,Aβ,L,Aβ线性无关；矛盾，所以n+1n秩（A）=秩（A）3.（北京师范大学，2006）A，B是n阶矩阵，证明：（1）秩；(A−ABA)=秩(I−BA)−nn22（2）若A+B=I，且秩A+秩B=n，则A=A，B=B，且AB=0=BA。n⎛InBA⎞⎛InBA⎞⎛In0⎞证明：（1）构造分块矩阵⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟⎝AA⎠⎝0A−ABA⎠⎝0A−A

5、BA⎠⎛InBA⎞⎛In−BA0⎞⎛In−BA0⎞另一方面⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟→⎜⎜⎟⎟⎝AA⎠⎝AA⎠⎝0A⎠于是n+秩(A−ABA)=秩A+秩(I−BA)n秩(A−ABA)=秩A+秩(I−BA)-nn（2）构造分块矩阵由A+B=I，可知n⎛A0⎞⎛AB⎞⎛A+BB⎞⎛InB⎞⎛InB⎞⎛In0⎞⎜⎟→⎜⎟→⎜⎟=⎜⎟→⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜2⎟⎜2⎟⎝0B⎠⎝0B⎠⎝BB⎠⎝BB⎠⎝0B−B⎠⎝0B−B⎠2那么R（）+（）=+（ARBnRBBn−）=2于是B=B2由A与B的对称性知，AA=。⎛⎞AO⎛⎞IBｎｎ⎛IB⎞⎛⎞IBｎ⎛⎞I

6、Bｎ⎛IｎO⎞⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟=⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟⎝⎠OB⎝⎠BB⎝ABBA++B⎠⎝⎠IBA+B⎝⎠OAB⎝OAB⎠ｎ于是R（）+（）=+（ARAnRABn）=于是ABO=由A与B的对称性知ABO=。⎛100⎞⎜⎟4.(中山大学,2004)设A=⎜101⎟⎜⎟⎝010⎠nn−12(1)证明：A=A+A−E100(2)求A证明：（1）用数学归纳法证明当n=2时结论显然成立，当n=3时，⎛100⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟23A=⎜110⎟，A=⎜210⎟⎜⎟⎜⎟⎝101⎠⎝110⎠于是⎛100⎞⎛100⎞⎛100⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟23A+A−

7、E=⎜101⎟+⎜110⎟−⎜010⎟=⎜210⎟=A⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝010⎠⎝101⎠⎝001⎠⎝110⎠假定小于n时结论成立，那么nn−1n−32n−23n−22A=A⋅A=A(A+A−E)=A+A−A=A+A−E3232（2）由A−A−A+E=0，令g(x)=x−x−x+1,则⎧abc++=1⎪⎨abc−+=1⎪⎩2ab+=100解得a=50,b=0,c=-49，将以上a,b,c代入式（1）⎛100⎞⎜⎟1002A=50A+49E=⎜5010⎟⎜⎟⎝5001⎠⎛IkA12⎞5.（中国科技大学，2007）（1）设n阶矩阵A=⎜⎟⎜⎟AA

8、⎝2122⎠其中I是n阶单位矩阵，A是n-k阶矩阵，证明k≤rankΑ≤n，k22其中rankA是的秩。并证明rankA=k的充要条件是A=A+A222112（2）