江苏省常州市礼嘉中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理

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1、常州市“教学研究合作联盟”2018学年度第二学期期中质量调研高二数学（理科）试题注意事项1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间120分钟。2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。3．答题时，必须用毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液及可擦写的圆珠笔。一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答

2、题卡相应位置上.1.若复数满足（为虚数单位），则复数的实部是▲．2.已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为，那么▲．3.若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第▲象限.4.设,是两个不共线的空间向量，若，，，且三点共线，则实数的值为▲．5.若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为▲．6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是▲．7.如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为▲．8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比

3、得到正项等比数列的前项积公式▲．9.用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为▲．10.如图，在直三棱柱中，，，点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为▲．11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第行的左起第个数为▲．（第7题图）（第10题图）（第11题图）12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为▲．13.如图，已知正三棱柱中，，分别为的中点，点在直线上且满足

4、若平面与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为▲．14.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为▲．（第12题图）（第13题图）（第14题图）二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分）已知为虚数单位，复数,.（1）若为实数，求的值；（2）若为纯虚数，求.16.（本小题满分14分）已知矩阵，.（1）求；（2）若曲线在矩阵对应的变换

5、作用下得到另一曲线，求的方程.17.（本小题满分14分）已知数列满足，，，（1）求的值并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.18.（本小题满分16分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，点,分别是,的中点.（1）求证：平面；（2）若点为棱上一点，且平面平面，求证：19.（本小题满分16分）如图，在正三棱柱中，所有棱长都等于.（1）当点是的中点时，①求异面直线和所成角的余弦值；②求二面角的正弦值；（2）当点在线段上（包括两个端点）运动时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.（第18题图）（第19题图）20.（本小题满分16分）（1）是否存在实数

6、，，，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.（2）求证：对任意的，.常州市“教学研究合作联盟”2018学年度第二学期期中质量调研高二数学（理科）参考答案和评分标准一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.12.3.四4.4或-15.且6.存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.7.8.9.10.111.12.13.14.二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.解：（1）因为，若为实数，则.………3分此时，所

7、以………7分（2）因为，………10分若为纯虚数，则，得，………12分所以………14分16.解：（1）=………6分（2）设曲线上任一点坐标为在矩阵对应的变换作用下得到点则=，即，解得.………10分因为所以整理得，所以的方程为………14分17.解：（1）由①得解得或又所以将代入①，可得或又所以将代入①，可得或又所以………3分故猜想数列的通项公式为………5分（2）①当时，，猜想成立.②假设当时，猜想成立，即………7分则当时，由①得即即即即即解得或………12分又所以故当时，猜想成立.综上：由①②得.………14分