余弦函数-的图像与性质教学设计

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1、-余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法(1)平移法:余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx的图像向平移个单位长度得到(如图).(2)五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为.问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.问题

2、3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期T=;(2)偶函数;(3)对称轴为(4)对称中心为.问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间(1)当ωx+φ=+kπ时,即为对称中心;(2)当ωx+φ=kπ时,即为对称轴;(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为区间;当ωx+φ∈[2kπ,+π2kπ]时,求得x属于的区间为区间.(注:以上k∈Z)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出y＝cosx(x∈R)的简图，并根据图像写出：1时x的集合；(1)y≥2(

3、2)－1≤y≤3时x的集合．22解：用“五点法”作出y＝cosx的简图------1---(1)过0，1轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于π1，π1点作x－，2，点，在[－23321πππ，π]区间内，y≥时，x的集合为x

4、－≤x≤233.1当x∈R时，若y≥，2则x的集合为ππx－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z33132π1(2)过0，－2，0，2点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于－3＋2kπ，－2，2π1，k∈Z点和π2kπ，3π3＋2kπ，－2－＋2，k∈Z，＋2kπ，2)，k∈Z点，那么曲线上夹在对

5、k∈Z，36613应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－2≤y≤2时x的集合为：x－2πππ2π.＋2kπ≤x≤－＋2kπ或＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z3663规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性．跟踪演练1求函数f(x)＝lgcosx＋25－x2的定义域．解由题意，x满足不等式组cosx>0－5≤x≤5，即，作出y＝cosx的图像．25－x2≥0cosx>0结合图像可得：ππ∪3π，5.x∈－5，－3π∪－，2222要点二：余弦函数单调性的应用例2求函数y＝log(cos2x)的增区间．--

6、-解：由题意得cos2x>0且y＝cos2x递减．∴x只须满足：π2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.2---π∴kπ

7、os41＝°cos139.°∵180°>139°>136°>0°，∴cos139°cos°221°.(2)cos－232333π，5π＝cosπ＝cos4π＋π＝cos5551717ππcos－4π＝cos4π＝cos4π＋4＝cos4.π3∵0<4<5π<π，且y＝cosx在[0，π]上递减，3π23π

8、x≤1，11∴当cosx＝时，ymax＝.24当cosx＝－1时，ymin＝－2.2－2，1∴函数y＝－cosx＋cosx的值域是4.(2)y＝4－2＋sinx＝4－1.2＋sinx2＋sinx∵－1≤sinx≤1，∴1≤2＋sinx≤3，---∴1≤1≤1，32＋sinx∴4≤4≤4，32＋sinx∴1≤4－1≤3，即13≤y≤3.2＋sinx3---3---∴函数y＝2－sinx的值域为1，3.2＋sinx3规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：①sinx，cosx的有界性；②sinx，cosx的单调性；③化为sinx＝f(y)或cos

9、x＝f(y)利用

10、f(y)

11、≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．跟踪演练3求函数y＝cos2