专题一 函数与导数

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1、专题一函数与导数【典纲】高考中导数试题主要考查切线方程、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、极值、最值、方程解的情况、实际应用中最优化等问题，经常与不等式、函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，作为中档题或压轴题出现，难度较大，分值约为12-14分.有的试题结合导数常常考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题，充分体现导数的工具性作用，同时要注意指数函数和对数函数与导数结合的解答题.【典例】1、函数的单调性与导数函数的单调性与导数

2、的题型通常有（1）利用导数求解函数的单调区间；（2）已知函数的单调区间求解参数的范围，求函数的单调区间不要忽视函数的定义域，根据函数的单调性确定参数的范围可将函数的导数在这个区间上大（小）于或者等于零恒成立问题转化为不等式的恒成立问题来解决.例1.（2013东北三校第一次联考）已知函数，且在处的切线斜率为.（1）求的值，并讨论在上的单调性；（2）设函数，其中，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.【分析】（1）由在处的切线斜率为，实质上是时的导数值为，通过对函数求导后可求出的值，再根据函数单调性的性质讨论；（2）当，，问题可转化为在

3、上恒成立求得.【解析】（1），当时，或当时，或在、上单调递增，在、上单调递减.（2）当时，单调递增，，则只需在上恒成立即可.①当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又，在上恒成立，时成立；②当时，当时，，此时单调递减，时不成立.综上【变式训练】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）如果对任意的总有，求的取值范围.【解析】（1）①当时，，故在上单调递增；②当时，，故在上单调递减；③当时，令，解得，在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意知，，令可得在上单调递增，即，令，则(*)式可化为，故的取值范围为【点评】含参函数的单调性问题它分为（1）

4、给出的参数可求出，其求可导函数单调区间的一般步骤：①确定函数的定义域；②求导函数；③在函数的定义域内求不等式或的解集；④由的解集确定函数的单调递增（减）区间.（2）给出的参数不确定，解决此类问题的关键在于准确确定分类讨论的依据，一般思路是：先讨论方程是否有根，再讨论方程的根是否在函数的定义域内，最后讨论方程的根之间的大小关系.变式训练第（2）小题可先构造函数，然后可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立，然后分离常数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围.2、导数与函数的极值、最值利用导数求解函数的极值、最值，

5、一般先已知函数解析式，然后通过求导，求出极值点，根据定义确定其极大值（极小值）.函数的极值反映函数在一点附近的情况，是在局部函数值的比较，故极值不一定是最值，函数的最值是对函数在整个区间上的函数值相比较而言，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值.例2.已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在上的最小值为0，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【分析】（1）求出函数的导函数，判断其导数函数的符号，进而确定其单调区间和极值；（2）构造函数，问题可转化为

6、当时，解得；（3）需要对参数分类讨论.【解析】函数的定义域为，（1）的单调递增区间为；单调递减区间为.的极小值为.（2）设，的最大值为的极大值，要使不等式恒成立，只需的最大值不大于1即可，即，故的取值范围为.（3）①若，即时，函数在上为增函数，故函数的最小值为，不合；②若，即时，的最小值为的极小值，，，不合；③若，即时，函数在上为减函数，的最小值为，即，不合.综上所述，不存在这样的实数，使得函数在上的最小值为0.【变式训练】已知函数，其中（1）若是的极值点，求的值；（2）若在上的最大值为0，求的取值范围.【解析】（1），由解得，经检验符合

7、，.（2）时，在上单调递增，知，不合；当时，在上的最大值为由，知时不合；当时，在上单调递减，可得在上的最大值为，符合，的取值范围为.【点评】利用导数研究函数的极值与最值问题，一般是考查含有参数的对数，指数或二次函数及其组合的函数，往往要通过求导数的符号先判断函数的单调性，然后结合函数的极值与最值定义求得，但此类问题有时利用导数研究不等式恒成立的问题，常常需要根据不等式恰当地构造函数，有时还需要进行多次构造和求导，而且在有的问题中借助函数的最值需对参数进行分类讨论，这种逆向思维的探索性问题是高考命题的热点.3、导数与不等式不等式问题中一般有

8、一元不等式、二元不等式，利用导数方法证明“不等式在区间D上恒成立”的基本方法是先构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，而二元不等式常常转化为一元不等式，把二元不等式转化为一元