专题一函数与导数.doc

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1、夷陵中学2013届高三重点班重点难点突破专题一函数与导数题型一　利用导数求解函数的单调性问题【例1】　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．【解】　(Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求导得f¢(x)＝3x2＋2ax＋1，当a2≤3时，△＝4(a2－3)≤0，f¢(x)≥0，f(x)在R上递增，当a2＞3，f¢(x)＝求得两根为x＝，则函数f(x)在区间(－∞，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，＋∞)

2、上递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，且a2＞3，解得a≥2.【例2】已知函数，其中为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．[解]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.（Ⅱ），令，得.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+↗极大值↘极小值↗因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如

3、下表：-21-夷陵中学2013届高三重点班重点难点突破+0-0+增极大值减极小值增因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组或由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是.题型二导数与切线问题【例3】已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证

4、：对于区间[－3，2]上任意两个自变量的值x1，x2，对于任意一个正实数a都有

5、f(x1)－f(x2)

6、≤；（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，利用导数求得f(x)在区间[－3，2]上的最大值和最小值分别为：fmax(x)=f(－1)=f(2)=2，fmin(

7、x)=f(-3)=－18∵对于区间[－3，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

8、f(x1)－f(x2)

9、≤

10、fmax(x)－fmin(x)

11、-21-夷陵中学2013届高三重点班重点难点突破

12、f(x1)－f(x2)

13、≤

14、fmax(x)－fmin(x)

15、=2－(－18)=20由条件可得，，当且仅当时，等号成立，即恒成立，∴对于任意一个正实数a都有

16、f(x1)－f(x2)

17、≤.（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点

18、M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程=0有三个实根.设g(x0)=，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=的极值点为x0=0，x0=1∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3

19、）设直线与曲线，及直线分别相交于，记，求在上的最大值；（3）设直线（为自然数）与曲线和的交点分别为和，问是否存在正整数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由.(本小题参考数据≈2.7)．-21-夷陵中学2013届高三重点班重点难点突破解（1）证：由得在上点处的切线为，即又在上点处切线可计算得，即∴直线与、都相切，且切于同一点（）（2）∴在上递增∴当时（3）设上式为，假设取正实数，则·当时，，递减；当，，递增．∴不存在正整数，使得即题型三　求函数的极值问题【例5】设，函数.(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)当时，函数取

20、得极值，证明：当.解：(Ⅰ)的定义域为，⑴当时，恒成立，在上是增函数；-21-夷陵中学2013届高三重点班重点难点突破⑵当时，令，即，解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.(Ⅱ)当时，函数取得极值，即，由(Ⅰ)在单调递增，在单调递减，单调递增.在时取得极大值；在时取得极小值，故在上，的最大值