黄昆固体物理习题解答

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1、第一章、晶体结构1.1如果将等体积球分别排列成下列结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/6≈0.52体心立方3/8π≈0.68面心立方2/60.74π≈六方密排2/60.74π≈金刚石3/16π≈0.34解：设钢球半径为r，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a与r的关系不同，分别为：简单立方：ar=2333体积为：ar=8，每个晶胞包含一个钢球，体积为：4/πr3所以x=≈π/60.52体心立方：34ar=333体积为：ar=(4/3)，每个晶胞包含两个钢球，体积为：8/πr3所以x=≈3/80.68π面心立方：24ar=333体积为：ar=(4/2)，每

2、个晶胞包含四个钢球，体积为：16πr/3所以x=≈2/60.74π六方密排：ar==2,c8/3a33体积为：82r，一个元胞内包含两个钢球，体积为8/πr3所以x=≈2/60.74π金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有3133⎛⎞84π3⋅=(3)2ar，所以晶胞体积为ar=⎜⎟，每个晶胞包含8个原子，体积为8⋅r，4⎝⎠333π则x=≈0.34161c82⎛⎞1.2试证六方密排堆积结构中=≈⎜⎟1.633a⎝⎠3a/3a/2证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a和c。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2

3、2a2ha=−=()a338所以cha==≈21.633a31.3证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。证明：体心立方格子的基矢可以写为aai=()−++jk12aai=−()j+k22aai=+()j−k32面心立方格子的基矢可以写为aa=()j+k12aak=()+i22aai=()+j32根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为2πba=×()a123υ2πaa=−[(ij+ki)(×+j−k)]3(2a)22π=+()kjkiji+++−a2π=+()jka同理2πbk=()+i2a2πbi=()+j3a与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4/π

4、a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为2πba=×()a123υ2πaa=[(ki+×+)()]ij3(4a)222π=−()ijk++a同理2πbi=()−+jk2a2πbi=()+−jk3a而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。31.4证明：倒格子原胞的体积为()2/πυ，其中υ为正格子原胞的体积。ccKKK证明：如果晶体原胞基矢为aaa、、，则原胞体积为132KKKυ=aaa⋅×()c123

5、根据定义，倒格子基矢为KKKKKKKKK2ππ()2aa××()aa2(πaa×)233112bbb===,,123υυυccc则倒格子原胞的体积为KKK∗υ=⋅×bbb()c1232π3KKKKKK=×()(aaaaaa)[⋅(×)(××)]233112υc2π3KKKKKKKKKK=×()(aa23)(⋅{}[]aaaaaaaa3121×))⋅−[](3112×)⋅υc2π3KKKKKK=×()(aaaaaa23)(⋅[]3121×))⋅υc3(2)π=υcKKKK1.5证明：倒格子矢量Ghbhbhb=++垂直于密勒指数为()hhh的晶面系。112233123证明：根据定义，密勒

6、指数为()hhh的晶面系中距离原点最近的平面ABC交于基矢的截123距分别为KKKaaa123,,hhh123则JJJGKKJJJGKKCA=−ah//ahCB=−a//hah11332233KKKKJJJGJJJG如果Ghbhbhb=++分别垂直于CA和CB，则该矢量就垂直于平面上所有的直线，112233即为平面的法线。1.6对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)hkl的晶面系，面间距d满足22222dahkl=/(++)其中a为立方边长。解：根据倒格子的特点，倒格子KKKK∗∗∗Gh=++akblc与晶面族(,,)hkl的面间距有如下关系2πd=hklGhklK因此只要先求出倒

7、格点G，求出其大小即可。hklKKKKKK由正格子基矢aa=i，bb=j，cc=k，可以马上求出：K∗2πKK∗2πKK∗2πKai=，bj=，ck=abc因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为Khkl∗∗∗222222Gh=++=+()()()2()()()akblcπ+hklabc则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。1.7写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a，写出最近邻和次近邻的原子间距。3答：体心立方晶格的