最优化与最优控制讲义第2章变分法1-4

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1、第二章变分法最优控制所要解决问题的是：在一定的约束条件下，求使性能指标达到极大（或极小）值的控制函数。这里考虑的约束条件一般为由向量微分方程描述的控制对象特性，而性能指标则一般是用泛函来描述。也就是说，最优控制问题实际上是在微分方程约束下求泛函的条件极值问题，而这就是一个变分问题，需要用变分法求解。变分法是近代数学中的一个完整分支，是研究最优控制问题的重要工具。为了理解变分法的原理，有必要首先了解相关的基础知识。2．1赋范线性空间1.距离的定义数学上的距离定义是表示空间中两点之间远近的一个数，有如下性质：1)非负性。即距离大于等于零，且只在两点重合时才为零；2)与两点顺序无关

2、，为标量；3)两点间最短距离是连接这两点的直线。2.距离空间定义定义2-1：设X是一个非空集合，X为距离空间是指在X中定义的一个双变量实函数d(x,y)，满足1)d(x,y)≥0，x,y∈X,d(x,y)=0,iffx=y;2)d(x,y)=d(y,x);3)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),x,y,z∈X。称d(x,y)为x与y间距离，亦称X上的距离。注1：距离的概念主要为了刻画“任意逼近”的概念。注2：距离空间依距离定义的不同而不同。3.点列收敛定义定义2-2：距离空间X中点列xn收敛于x0（或点列xn以x0为极限）是指d(xn,x0)→0，当n→∞，记为limx

3、n=x0n→∞4.距离空间X的基本序列定义2-3：距离空间X的基本序列或柯西序列(CouchySequence)是指，对X中点列xn，如果对于任意ε>0，存在足够大N，当m，n>N时，有d(xm,xn)<ε。5.距离空间X中的球点集S(x0,τ)={x∈X∣d(x,x0)<τ,τ>0}称为X中的开球；S(x0,τ)={x∈X∣d(x,x0)≤τ,τ>0}称为X中的闭球；∑(x0,τ)={x∈X∣d(x,x0)=τ,τ>0}称为X中的球面，均以x0为圆心，τ为半径。6.内点定义2-4：设M为X中的子集，点x∈X为M内点的条件为，存在一个以x为中心的开球S(x0,ε)⊂M。6M的

4、所有内点的全体称为M的内部，记为IntM。7.开集定义2-5：如果X中子集M的所有点均为它自己的内点，即M=IntM，则M成为开集。8.极限点定义2-6：设M是距离空间X中的子集，若存在M中点列{xn}，它收敛于x0∈X，且xn≠x0，则称x0是M的一个极限点。注意，M的极限点不一定属于M。例如，对M={r∣0

5、量，α为标量。若满足n1）x+y∈R，且x+y=y+x；n2）αx∈R，且α（x+y）=αx+αy；n则R称为n维线性空间。11.赋范线性空间n定义2-9：若线性空间R中每一个元素x都有范数‖x‖，且满足下列范数三公理：1）‖x‖≥0，‖x‖=0iffx=0；2）‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖；3）‖αx‖=α‖x‖，α为任意常数，n则称R为赋范线性空间。2．2线性算子及泛函1.线性算子nm定义2-10：n维线性空间R到m维线性空间R的线性算子（映射）是指nm一确定对应规律y=f(x)，使每一个x∈R有一个对应的y∈R，且满足线性条件n1）f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

6、,x∀1,x2∈Rn2）f(αx)=αf(x),x∈αR,∈R2.线性算子的微商nm定义2-11：设y=f(x)是n维线性空间R中子集D到m维线性空间R的算子，且在D中当由点x转到x+Δx时，y变为y+Δy=f(x+Δx)。若存在一m个由D到R的线性算子，使f(x+Δx)-f(x)=kΔx+θ‖Δx‖其中θ‖Δx‖是‖Δx‖的高阶无穷小量，即θ∆xlim=0x→0∆x7则称线性算子k为f(x)在x处的微商，记为k=f’(x)，并称f(x)在x处可微。由此可同样定义二阶至n阶微商，并解释f(x)在x处n次可微含义二阶微商(f’(x))’=f’’(x)y……y(x)(n-1)(n

7、)n阶微商(f(x))’=f(x)3.泛函nn定义2-12：由赋范线性空间R到数域R的算子称为R上的泛函。x0x1x例：求曲线弧长的公式即为泛函xy平面上两点A(x0,y0),B(x1,y1)间的弧长公式x12AB=∫1+y'dxx0曲线（函数）y=y(x)通过A、B两点，曲线（函数）不同则弧长不同，即弧长是曲线（函数）y=y(x)的函数，记为J[y(x)]，则x12AB==J[∫1+y'dxy(x)]x04.泛函宗量及其变分泛函宗量——泛函J[y(x)]的宗量是函数y(x)；泛函宗量的变分δy(x)定