高中数学第二章概率2.5.2离散型随机变量的方差与标准差学案苏教版选修

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1、2.5.2　离散型随机变量的方差与标准差学习目标　1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．知识点一　方差、标准差的定义及方差的性质甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：X012PY012P思考1　试求E(X)，E(Y)．　　思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？　　思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水

2、平的高低？　　梳理　(1)离散型随机变量的方差和标准差设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①方差：V(X)＝σ2＝____________________________________________，其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.变形公式：V(X)＝pi－μ2.②标准差：σ＝________.③意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的________程度．(2)方差的性质：V(aX＋b)＝________.知识点二　两点分布、超几何分布与二项分布的方差1．两点

3、分布：若X～0－1分布，则V(X)＝________________________________________________________________________.2．超几何分布：若X～H(n，M，N)，则V(X)＝.3．二项分布：若X～B(n，p)，则V(X)＝__________.类型一　求随机变量的方差例1　在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．　　　　　　　反思与感悟　求离散型随机变量X的均值与

4、方差的基本步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的概率分布．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求V(X)．跟踪训练1　甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的均值和方差．　　　　　类型二　两点分布与二项分布的方差例2　某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．　　

5、　　　　反思与感悟　解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．跟踪训练2　(1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，V(X)＝20，则p＝________.(2)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，则V(3ξ)＝________.1．已知随机变量X的概率分布为X－101P则下列式子：①E(X)＝－；②V(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确式子的序号为_____

6、___．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则V(ξ)＝________.3．已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabc4.已知随机变量X～B(100,0.2)，那么V(4X＋3)的值为________．5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和V(ξ)．　　　　　1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与

7、离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差V(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的概率分布；(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X)．答案精析问题导学知识点一思考1　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.思考2　不

8、能，因为E(X)＝E(Y)．思考3　方差．梳理　(1)①(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn　②