2018年秋高中数学 三角恒等变换阶段复习课第4课三角恒等变换学案

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1、第四课　三角恒等变换[核心速填]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sin_αcosβ±cos_αsin_β.cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β.tan(α±β)＝.2．倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.3．半角公式sin＝±.cos＝±.tan＝±＝＝.4．辅助角公式(1)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).(2)与特殊角有关的几个结论

2、：sinα±cosα＝sin，sinα±cosα＝2sin，sinα±cosα＝2sin.[体系构建][题型探究]三角函数式求值　(1)已知sin＝－，则cos＝(　　)A．－　　B．－C．D．(2)4cos50°－tan40°等于(　　)A．B．C．D．2－1(3)已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.(1)C　(2)C　　[(1)cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.(2)4cos50°－tan40°＝＝＝＝＝＝.(3)tanα＝tan[(α－β)＋

3、β]＝＝＞0.而α∈(0，π)，故α∈.∵tanβ＝－，0＜β＜π，∴＜β＜π，∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝＞0，∴－π＜α－β＜－，∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，∴2α－β＝－.][规律方法]　三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.(2)“给值求值”，即给出某些角的

4、三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.[跟踪训练]1．若α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝(　　)【导学号：84352353】A．B．－C．－D．或－C　[∵α，β∈，∴α＋β∈，β－∈，∴cos(α＋β)＝＝＝，cos＝－＝－＝－，则cos＝cos＝cos

5、(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝－.]2．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanAtanB＝________.　[因为3cos2＋5sin2＝4，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0，所以cosAcosB＋sinAsinB－cosAcosB＋sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝.]三角函数式化简　化简(1)；(2)·.[解]　(1)原式＝＝＝＝cos2x.(2)原式＝·＝·＝·＝.[规律方法]　三角函数式化简的基本

6、技巧(1)sinα，cosα→凑倍角公式．(2)1±cosα→升幂公式．(3)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)，其中tanφ＝或asinα＋bcosα＝·cos(α－φ)，其中tanφ＝.[跟踪训练]3．化简：(180°<α<360°)．[解]　原式＝＝＝.∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα.三角恒等式的证明　求证：tan2x＋＝.[证明]　左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．原式得证．[规律方法]　三角恒等式的证

7、明问题的类型及策略(1)不附加条件的恒等式证明.通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.(2)条件恒等式的证明.这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.[跟踪训练]4．已知sin(2α＋β)＝5sinβ，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.[证明]　由条件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得sin(α＋β)cosα＋co

8、s(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα，整理得：4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα，两边同除以2cos(α＋β)cosα得：2tan(α＋β)＝3tanα.三角恒等变换的综合应用　已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.[解]　(1)因为a∥b，所以3sinx＝－cosx，又cosx≠0，