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《2017-2018学年高中数学平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义预习课本P103～105，思考并完成以下问题(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？(3)向量数量积的性质有哪些？(4)向量数量积的运算律有哪些？1．向量的数量积的定义(1)两个非零向量的数量积：已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ定义a与b的数量积(或内积)是数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ记法a·b＝
6、a
7、
8、b
9、cosθ(2)零向量与任一向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积均为0.[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是
10、数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．2．向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：①向量b在a的方向上的投影为
11、b
12、cosθ.②向量a在b的方向上的投影为
13、a
14、cosθ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度
15、a
16、与b在a的方向上的投影
17、b
18、cosθ的乘积．[点睛] (1)b在a方向上的投影为
19、b
20、cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成.(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．3．向量数量积的性质设a与b都是
21、非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝
22、a
23、
24、b
25、，当a与b反向时，a·b＝－
26、a
27、
28、b
29、.(3)a·a＝
30、a
31、2或
32、a
33、＝＝.(4)cosθ＝.(5)
34、a·b
35、≤
36、a
37、
38、b
39、.[点睛] 对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[点睛] (1)向量的数量
40、积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )(3)若a，b反向，则a·b＝－
41、a
42、
43、b
44、.( )(4)若a·b＝0，则a⊥b.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)
45、×2．若
46、a
47、＝2，
48、b
49、＝，a与b的夹角为60°，则a·b＝( )A．2 B.C．1D.答案：B3．已知
50、a
51、＝10，
52、b
53、＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为( )A．60°B．120°C．135°D．150°答案：B4．已知a，b的夹角为θ，
54、a
55、＝2，
56、b
57、＝3.(1)若θ＝135°，则a·b＝________；(2)若a∥b，则a·b＝________；(3)若a⊥b，则a·b＝________.答案：(1)－3 (2)6或－6 (3)0向量数量积的运算[典例] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且
58、a
59、＝4
60、，
61、b
62、＝2，求：①a·b;②(a＋b)·(a－2b)．(2)如图，正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[解] (1)①由已知得a·b＝
63、a
64、
65、b
66、cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵
67、a
68、＝
69、b
70、＝
71、c
72、＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．(2)根
73、据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [活学活用] 已知
74、a
75、＝3，
76、b
77、＝4，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．解：(1)a·b＝
78、a
79、
80、b
81、cos120°＝3×4×＝－6.(2)a2－b2＝
82、a
83、2－
84、b
85、2＝32－42＝－7.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2
86、a
87、2＋5
88、a
89、
90、b
91、·cos120°－3
92、b
93、2＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60.与向量的模有关的问题[典例] (1)(浙江高考)已知e1，e2是
94、平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则
95、b
96、＝
