数学思想解读

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1、数学思想解读一、教学内容：专题一数学思想解读 二、内容概要数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中，掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多.通过七年级下册数学的学习，同学们应进一步理解和感受方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等几种数学思想方法. 三、知识点分析1.方程思想.所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.方程知识是初中数学的核

2、心内容，理解方程思想并应用于解题当中十分重要.课本中第6章、第7章列一次方程（组）解应用题就是方程思想的具体应用.2.数形结合思想数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述.数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想.在一元一次不等式（组）中，用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现.3.分类讨论思想分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，有

3、效地考查学生思维的全面性与严谨性.要做到成功分类，需注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则.4.转化思想转化是解数学问题的一种重要的思维方法.转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，就解题的本质而言，解题就意味着转化，即是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”，把“抽象”转化为“具体”，把“一般”转化为“特殊”，把“高次”转化为“低次”，把一个综合问题转化

4、为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等等.5.整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考查问题的视角，将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这就是整体思想.6.由特殊到一般的归纳思想：在研究数学问题时，常常通过对特殊情况的问题的探究，推广到一般情况，从而归纳出一般规律.本章中多边形的内角和、多边形的外角结论的得出，都采用了由特殊到一般的归纳思想.7.对称思想数学家赫尔曼外尔曾经说过：对

5、称是一种思想，通过它，人们毕生追求并创造次序、美丽和完善……”.利用对称思想，同学们可较简单地进行图案设计并能解决一些有关对称的数学问题. 【典型例题】例1.一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数.分析:根据“边形的内角和等于”与“多边形的外角和等于”和已知条件，列方程可求解.解答:设多边形的边数为，则根据题意得方程：解得所以，这个多边形的边数为9.评注：对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数问题或几何问题. 例2.如图，在△ABC中，∠ABC＝

6、∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数.解析:由于BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD，又∠BDC＝∠A+∠ABD，所以由已知条件可建立∠A与∠C的关系，列出方程.设∠A=x°，由于BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝，而∠BDC＝∠A+∠ABD，所以2∠BDC＝2∠A+∠ABC，所以∠ABC＝2∠A＝2x°，则有x°＋2x°+2x°=180°，所以x°＝36°，即∠A＝36°.评注：解决几何中的求值问题，往往通过建立方程（组）来求解. 例3.求不等式组的自然数解.分析:欲

7、求不等式组的自然数解，一般思路是先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出其解集，从而进一步求出问题的答案.解答:解不等式得解不等式得所以，原不等式组的解集是，其解集在数轴上表示如图所示所以，其自然数解为0、1、2.评注：自然数也就是非负整数，在这里易漏掉0. 例4.等腰三角形的周长为16，其中一条边的长是6，求另两条边的长.分析:由于已知的“一条边的长是6”，未告之是腰长，还是底边长，所以应分类讨论求解.解答:（1）当周长为16，腰长为6时，该等腰三角形的另两边：一条边为腰，长为6，另一条边为底边，长

8、为16－6－6=4，即另两边分别为6和4；（2）当周长为16，底边长为6时，该等腰三角形的另两边都是腰，其长为（16－6）÷2=5，即另两边长为5、5.评注：求解有关等腰三角形的边、角问题时，在题中未附图形且未指名已知的边、角是该等腰三角形的底或腰（底角或顶角）的情况下，均需用分类讨论思想求解. 例5.在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线将△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长.解析：因为中线是BD，所以AD＝CD，分成两部分周长不等的原因是A