谓词演算的推理理论1

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1、1.8谓词演算的推理规则一、谓词逻辑中推理的基本概念设H1,H2,…,Hm(ｍ≥１)和Ｃ都是谓词公式。若(H1∧H2∧…∧Hm)→Ｃ为永真式，即H1∧H2∧…∧HmＣ，则称由前提H1,H2,…,Hm推出结论C的推理正确(有效)。Ｃ称为前提H1,H2,…,Hm的有效结论或逻辑结果。H1∧H2∧…∧Hm→Ｃ称为由前提H1,H2,…,Hm推出结论C的推理的形式结构。谓词逻辑中常用的推理规则其来源可分为两类：（一）命题逻辑中的所有推理规则如规则P、T及CP规则、反证法等亦可在谓词演算的推理中应用，只是应将各规则中的命题公式理解为谓词公式

2、。谓词演算的推理方法可视为命题演算推理方法的扩张。（二）谓词逻辑中特有的推理规则1.谓词演算中与量词有关的基本的永真蕴含式和逻辑等价式。2.量词的消去或添加规则在谓词演算的推理中，某些前提或结论会受到量词的限制，为了使用命题演算中的等价式和蕴含式，必须有消去或添加量词的规则。二、谓词逻辑的推理规则1.US规则(全称指定规则)xA(x)A(y);①xA(x)A(c)②——如果个体域D中所有的个体都具有性质A，则D中每一个个体（个体常元、个体变元）都具有性质A。两式成立的条件是：⑴x是A(x)中自由出现的个体变元。⑵在①式中，

3、y为任意的不在A(x)中约束出现的个体变元。特别地，y可取x。⑶在②式中，c为任意的个体常元。消去规则(指定规则)例如：设个体域D为实数集，谓词F(x,y)：x>y。则xyF(x,y)：对任意的实数x，都存在实数y，使x>y。（真命题）则下列推理正确的是：()1.xyF(x,y)yF(c,y)2.xyF(x,y)yF(x,y)3.xyF(x,y)yF(y,y)4.xyF(x,y)yF(z,y)答案：1，2，4正确3出错的原因是y已在yF(x,y)中约束出现。2.ES规则(存在指定规则)xA(

4、x)A(c)——如果个体域D中存在具有性质A的个体，则D中必有某一个个体c（个体常元）具有该性质A。该式成立的条件是：⑴x是A(x)中自由出现的个体变元。⑵c是使A(c)为真的特定的个体常元，且此c在该推导前（包括在A(x)中）从未使用过。⑶若A(x)中除自由出现的x以外，还有其他自由个体变元时，不能使用此规则。例如：1.设个体域D为整数集，谓词F(x)：x是奇数。G(x)：x是偶数。推理过程如下：(1)xF(x)F(c)(2)xG(x)G(c)则xF(x)，xG(x)都是真命题，但F(ｃ)∧G(ｃ)假出错原因：(2

5、)中的ｃ已在(1)被指定了，已是一个特定的值。(2)应改为：xG(x)G(d)F(ｃ)∧G(d)真2.xF(x,y)F(c,y)出错原因：c的确定还与y有关。应改为：xF(x,y)F(cy,y)3.UG规则(全称推广规则)A(y)xA(x)——如果个体域D中每一个个体都具有性质A，则D中所有的个体都具有该性质A。该式成立的条件是：⑴y是A(y)中自由个体变元，且y取个体域D中的任何值时，A(y)均为真。⑵取代y的x不能是A(y)中的约束变元，否则也会产生错误。注：使用本规则时，事先必须已经验证了对个体域中的每一个ｘ

6、，A(x)都为真。添加规则(推广规则)4.EG规则(存在推广规则)A(c)xA(x)A(y)xA(x)——如果个体域D中某个个体（个体常元、个体变元）具有性质A，则D中存在着具有该性质A的个体。两式成立的条件是：⑴c是使A(c)为真的特定的个体常元。⑵y是使A(y)为真的自由个体变元。⑶取代c或y的x不能在A(c)或A(y)中出现过。例如：设个体域D为实数集，a)谓词F(x,y)：x>y则下列推理正确的是：1.xF(x，y)zxF(x，z)2.xF(x，y)xxF(x，x)1对2错b)谓词F(x,y)：x*

7、y=0则下列推理正确的是：1.xF(x,0)xxF(x,x)2.xF(x,0)zxF(x,z)1错2对1.量词的消去或添加规则只对前束范式（即辖域为整个公式）的量词成立，不能对出现在公式中间的量词使用它们。2.使用时，要严格按照限制条件去使用，并从整体上考虑个体常元和个体变元符号的选择。3.用y或c取代A(x)中自由出现的x时，一定要在x自由出现的每一处都取代。使用时的注意事项例1-8-1证明苏格拉底三段论：所有的人都是要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。解：设M(x)：x是人。D(x)：x是要死的。a：苏

8、格拉底前提：x(M(x)→D(x))，M(a)结论：D(a)推理的形式结构：x(M(x)→D(x))∧M(a)→D(a)证明:(1)x(M(x)→D(x))规则P(2)M(a)→D(a)(1)US规则，规则T(3)M(a)规则P(4)D(a)