谓词演算的推理理论

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1、第6讲§2—7谓词演算的推理理论要求：熟练掌握谓词的推理理论与推理方法，会用谓词的推理理论与推理方法进行推理。重点：应用谓词的推理理论与推理方法进行推理。难点：正确理解和运用有关量词规则。谓词逻辑是命题逻辑的进一步深化和发展，谓词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法的扩张。因此命题逻辑的推理理论在谓词逻辑中几乎可以完全照搬，只不过这时涉及的公式是谓词逻辑的公式罢了。在谓词逻辑中，某些前提和结论可能受到量词的约束，为确立前提和结论之间的内部联系，有必要消去量词和添加量词，因此正确理解和运用有关量词规则是谓词逻辑推理理论中十分

2、重要的关键所在。一、有关量词消去和添加规则量词消去规则（证前去量词）：(1)全称量词消去规则(称为全称指定规则，简称US规则)(x)A(x)A(c)：其中c为论域中任意个体常元（举例说明）(2)存在量词消去规则(称为存在指定规则，简称ES规则)(x)A(x)A(c)：其中c为论域中的某些特定的个体常元，它不是任意的。c不得在前提中或者居先推导公式中出现或自由出现。（举例说明：存在一些人是男生，存在一些人是女生）量词产生规则（证后加量词）：(3)存在量词产生规则(称为存在推广规则，简称EG规则)A(c)(y)A(y)其

3、中c为论域中特定个体常元(4)全称量词产生规则(称为全称推广规则，简称UG规则)A(c)(y)A(y)若能证明对论域中每一个客体c断言A(c)都成立，则全称推广规则可得到结论(y)A(y)成立。二、Lp中推理实例：Lp的推理方法是Ls推理方法的扩展，因此在Lp中利用的推理规则：（1）T规则、P规则和CP规则（2）已知的等价式，蕴含式（3）有关量词的消去和产生规则。使用的推理方法是：直接构造法和间接证法（不能用真值表）。所有谓词的推理，均可先忽略量词，按命题逻辑中分析基本思路及所用方法，然后再注意证前去量词，证后加量词，

4、并注意次序即可例题1证明苏格拉底论证：所有的人都是要死的。苏格拉底是人。所以苏格拉底是要死的。解设H(x)：x是一个人。M(x)：x是要死的。s：苏格拉底。故苏格拉底论证可符号化为：(x)(H(x)→M(x))∧H(s)M(s)证明(1)(x)(H(x)→M(x))P(2)H(s)→M(s)US(1)(3)H(s)P(4)M(s)T(2)(3)I例题2证明证明(x)(C(x)→W(x)∧R(x))∧(x)(C(x)∧Q(x))(x)(Q(x)∧R(x))(1)(x)(C(x)→W(x)∧R(x))P(2)(x)

5、(C(x)∧Q(x))P(4)C(a)→W(a)∧R(a)US(1)(3)C(a)∧Q(a)ES(2)(5)C(a)T(3)I(6)W(a)∧R(a)T(4)(5)I(7)Q(a)T(3)I(8)R(a)T(6)I(9)Q(a)∧R(a)T(7)(8)I(10)(x)(Q(x)∧R(x))EG（9）注意（3）（4）两条次序不能颠倒。（1）原来的作用变元相同：若先用ES后用US，可用同一常元也可用不同常元（按需决定）；若先用US后用ES，必用不同常元;若几个ES在一起，必用不同常元．若几个US在一起，可用相同常元也可用不同常元（

6、按需决定）（2）原来作用变元不同：无论顺序如何，ＥＳ或ＵＳ后，常元必不同例题3证明(x)(P(x)∨Q(x))(x)P(x)∨(x)Q(x)方法（１）：用反证法（假定┐C为T，推出矛盾）(1)┐((x)P(x)∨(x)Q(x))P(附加前提)(2)(x)┐P(x)∧(x)┐Q(x)T(1)E(3)(x)┐P(x)T(2)I(4)(x)┐Q(x)T(2)I(5)┐P(c)ES(3)(6)┐Q(c)US(4)(7)┐P(c)∧┐Q(c)T(5)(6)I(8)┐(P(c)∨Q(c))T(7)E(9)(x)(P(x

7、)∨Q(x))P(10)P(c)∨Q(c)US(9)(11)┐(P(c)∨Q(c))∧(P(c)∨Q(c))(矛盾)T(8)(10)I方法（２）：用CP规则原题可转为：(x)(P(x)∨Q(x))┐(x)P(x)(x)Q(x)(要证SRC，也就是证明(S∧R)C。)(1)┐(x)P(x)P（附加前提）(2)(x)┐P(x)T（1）E(3)┐P(c)ES(2)(4)(x)(P(x)∨Q(x))P(5)P(c)∨Q(c)US(3)(6)Q(c)T(3)(5)I(7)(x)Q(x)EG(6)(8)┐(x)P(

8、x)(x)Q(x)CP例题4构造下面推理的证明：每个学术会的成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以有些成员是青年专家。证明设P(x)：x是学术会的成员。Q(x)：x是专家。R(x)：x是工人。S(x)：x是青年人。证明过程如下：则本题要证明：(x)