高考数学总复习第六讲解析几何

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1、高考数学总复习第六讲：解析几何高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆,圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.一、圆锥曲线的几类基本习题一.弦的中点问题具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例1给定双曲线。过A（

2、2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。分析：设，代入方程得，。两式相减得。又设中点P（x,y），将，代入，当时得。又，代入得。当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。例2已知椭圆，通过点（1，1）引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。略解：有，代入得0，得。从而直线方程是。此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法。二.焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。例3设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。（1）求证离心率；（2）求的值；（3）求的最值。分析：（1）设，，由

3、正弦定理得。得，。（2），采用合分比定理得，。（3）。当时，最小值是；当时，最大值是。三.存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。例4已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得。又，，，代入得。又由解得交点。交点在椭圆内，则有。得。例5为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。略解：两点所在直线与联立求出交点，代入抛物线内，有，解得。四.两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理。例6已知直线的斜率为，且过

4、点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。（1）求的取值范围；（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。分析：（1）直线代入抛物线方程得，由，得。（2）由上面方程得，，焦点为。由，得，或。例7经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。分析：左焦点F(1,0)，直线y=kx代入椭圆得，，。由AF知。将上述三式代入得，或。二、直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题基本知识点：（1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。（2

5、）注意韦达定理的应用。弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则（3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。（4）有关中点弦问题<1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。<2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。（5）有关圆锥曲线的对称问题这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称，关于直线y=±x+b对称。（6）圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一

6、般可用图形性质来解决。<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。【例题选讲】例1.已知抛物线y2=2px(p>0)。过动点M（a，0）且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B（2）若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。解：（2）设Q(x3，y3)由中点坐标公式得又三角形MNQ为等腰直角三角形例2.线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。（2000年，全国高考）解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D

7、，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。h是梯形的高。由定比分点坐标公式，得点E的坐标为由点C、E在双曲线上，得小结：此题涉及解析几何的最根本问题：如何建立坐标系，这也是对学生基本能力的考查，坐标系是一种工具，如果用得好，可以给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般而言，可从对称的角度去考虑。例3.（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t