第20讲 特殊的平行四边形

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1、第20讲特殊的平行四边形考点1矩形矩形的定义有一个角是①的平行四边形叫做矩形.矩形的性质(1)矩形具有平行四边形所有的性质.(2)矩形的四个角都是②，对角线互相平分并且③.(3)矩形既是一个轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是④.矩形的判定(1)定义法.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3)⑤的平行四边形是矩形.考点2菱形菱形的定义有一组⑥的平行四边形叫做菱形.菱形的性质(1)菱形具有平行四边形所有的性质.(2)菱形的四条边⑦，对角线互相⑧，并且每条对角线平分一组对角.(3)菱形既是一个轴对

2、称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心就是⑨.(4)菱形的面积等于对角线乘积的⑩.菱形的判定(1)定义法.(2)四条边⑪的四边形是菱形.(3)对角线⑫的平行四边形是菱形.考点3正方形正方形的定义有一组邻边⑬，并且有一个角是⑭的平行四边形叫做正方形.正方形的性质(1)正方形的四条边⑮，四个角都是⑯，对角线互相且，并且每一条对角线平分一组对角，具有矩形和菱形的所有性质.(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有条，对称中心是对角线的交点.正方形的判定(1)有一组邻边相等的是正方形.

3、(2)有一个角是直角的是正方形.(3)对角线的四边形是正方形.【易错提示】在判定矩形、菱形、正方形时，要注意明确是在“四边形”还是“平行四边形”的基础上.1.牢固掌握矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定定理，它们大多是从边、角、对角线三个方面来描述的，分类记忆，便于灵活应用.2.适当进行动手操作训练，从实践中认识特殊平行四边形的轴对称性和中心对称性，再进行相应的证明和计算，也是正确解答综合性问题的有效途径.命题点1矩形的性质与判定例1(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及

4、其延长线上分别取点E,F，连接BE,CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明；(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH；(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形.【解答】方法归纳：矩形具有平行四边形的所有性质，同时也具有其特殊的性质；判定

5、矩形的方法是多样的，可以先判定这个四边形是平行四边形，然后利用一内角为90°或对角线相等判定矩形.1.(2014·重庆B卷)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°2.在数学活动课上，老师要同学们判断自己的课桌是不是矩形，经过测量，小明说：“我的课桌是矩形，我测量了对角线相等.”小华说：“我的课桌也是矩形，我测量了一组对角是直角.”小丽说：“那我的课桌更是矩形，我测量了其中三个角都为直角.”请问说法不正确的同学有()A.0位B.

6、1位C.2位D.3位3.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形.4.(2014·泉州)已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF.求证：AF=CE.命题点2菱形的性质与判定例2(2014·莱芜)如图，已知△ABC是等腰三角形，顶角∠BAC=α(α<60°)，D是BC边上的一点，连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转α到AE，过点E作BC的平行线，交AB于点F,连接DE,BE,DF.(1)求证：BE=C

7、D；(2)若AD⊥BC，试判断四边形BDFE的形状，并给出证明.【思路点拨】(1)根据等腰三角形及旋转的性质，利用SAS证△EAB≌△DAC，进而得出结论；(2)先证BE=BD=CD，再证EB=EF，则BE=EF=BD，又EF∥BD，即可得证四边形BDFE为菱形.【解答】方法归纳：菱形的判定一般先判定为平行四边形，然后从内角、邻边或对角线这三个角度分析，也可直接判定四条边相等.1.(2014·宁波)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是()A.10B.8C.6D.52.(2014·重庆A卷)如图，菱形ABCD中

8、，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为.3.(2013·常州)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形.命题点3正方形的性质与判定例3(2013·南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD