矩阵分析引论第(I)章

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1、第一章线性空间与线性变换§1线性空间的概念§2基变换与坐标变换§3子空间与维数定理§4线性空间的同构§5线性变换的概念§6线性变换的矩阵表示§7不变子空间第一章线性空间与线性变换回顾几个预备概念集合数集有理数集Q实数集R复数集CQQRCC复数集合中的任意非空子集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商仍属于该集合P，则称数集P数域Q为一个数域。（注意0和1）有理数域Q实数域R复数域C1线性空间的概念第一章线性空间与线性变换集合V中元素的运算：我们只考虑加法，加号+任意,xyV,有xyV,且若xuy,v,则xyuv数域P中的数与集合V中的元素之间的运算

2、：称为数量乘法，运算结果称为数量乘积，省略乘号任意数P与任意元素xV,有xV如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合V为数域P上的线性空间或向量空间。元素称为向量。任意,P,任意xyzV,,,及零元素V1线性空间的概念第一章线性空间与线性变换八条规则附带性质交换律xyyx;零与零元素0x;集合律(xy)zx(yz);数与零元素;零元素xx;负数负元素(1)xx;负元素xxx(x);减法运算xyx(y)单位乘1xx;交换律(x)();x零向量唯一结合律()xxx;负元素唯一

3、结合律(xy)xy1线性空间的概念第一章线性空间与线性变换线性空间之例nV1,2,,niP记为PnnVAAaij,aijP记为PVft()()ftRt,[,]ab记为L[,]abV作用在某质点的力1线性空间的概念第一章线性空间与线性变换作用在某质点的所有力的集合构成一个线性空间（向量空间）xyxyz,,,...z力向量xyxR实数域zx满足八条规则z1线性空间的概念第一章线性空间与线性变换有关定义线性相关与线性无关xyz,,,,不全为零线性相关0线性无关n维线

4、性空间有且只有n个线性无关的向量基任何一组n个线性无关的向量。可以有无数组基。基向量通常记作ee1,2,,en向量x的基表示x11e22enne称为坐标或分量i1线性空间的概念第一章线性空间与线性变换基下向量有两组基，分别为nxieiee1,,2,en和,,ee12,eni1n其关系为xieii1eaeaeae1111212n1n过渡矩阵或称变换矩阵eaeaeae2121222n2na11a12a1naaaeaeaeaeA21222nn1n12n2nnn也可写成

5、naaan1n2nneiaekik,i1,2,,nk12基变换与坐标变换第一章线性空间与线性变换坐标之间的关系坐标变换aaa111121n1aaa221222n2aaann1n2nnn11112A22A12nnnn2基变换与坐标变换第一章线性空间与线性变换子空间就是线性空间

6、的子集，但得自成线性空间。如何判断W是V的子空间？准则：xyW,xyW;xW,PxW零子空间由单个的零向量组成的子集零维平凡子空间线性空间V本身n维子空间之例Wxxyz,任意,P,给定yzV,3子空间与维数定理第一章线性空间与线性变换设和为的子空间，有以下结果VVV12交集WV1V2xxVxV1,2,也是子空间；和集WV1V2xyxVyV1,2,也是子空间；直和WV1V2zxyxVyV1,2,没有其他的与，xy也是子空间，记为WVV12维数公式：dimVdimVdim(VV)di

7、m(VV)12121或dim(VV)dimVdimVdim(VV)12121若是直和，则有dim(VV)dimVdimV12123子空间与维数定理第一章线性空间与线性变换子空间的交集WVV是子空间12零向量属于W任取x,yW，则x,yV，所以ixyV,i1,2i又P,xWxVixW3子空间与维数定理第一章线性空间与线性变换Vab00a,bR1四维空间中V00c0cR的三个子空2间V0de0a,bR3WVV