数值分析：第1章引论_418305513

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1、第1章引论§1数值分析研究对象与特点(I)数学与科学、工程技术有非常密切关系，并相互影响。科学与工程技术领域屮的问题通过简化、抽象建立数学模型。对数学模型的研究和求解，应用于科学与T程实践。数学模型的建立与研究是数学研究的重要任务。例如，设有一个质量为加的质点作直线运动(设其在兀轴上运动)，其坐标用为表示。在质点运动过程中，其坐标％随时间/而变动，要知道质点如何运动，就要知道兀对时间/的依赖关系。假定运动是在力F的作用下进行的，而力F又与时间》，质量的位置兀,dxdx速度v有关，即F=/o由Newton第二定律,atat

2、厂dvd2xF=ma'a=~dt=~dtrf即在时刻t有d2x为使问题定解，还需加上初始条件dxI力f一V。这样的初值问题，其解存在，唯一，连续依赖于初始数据…是数学工作者要研究和解决的问题。作为科学与工程技术工作者，仅知道其解的存在，唯一…是不够的，还必须知道其数量是多少。很多线性与非线性问题很难用解析方法来求得，甚至于看来简单的问题，也难于解析求解，asinx如—~dx不能用解析方法求得。很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必须采用数值方法来求解。数值分析则是研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，

3、主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重要的任务。数值分析具有两个显明特点1・实践性数值求解的总是来源于科学与工程实践，解决之后又为科学与工程技术服务。2.与计算机的密切相关虽然数值分析早于计算机的出现,但是数值分析的飞速发展是计算机出现之后，并随计算机发展而迅速发展。计算机为用数值方法进行科学与工程计算提供了条件，而数值方法的发展乂推动了计算机的发展。现在大量的科学与工程问题可用计算机进行求解。过去完全靠实验的学科，如气体

4、动力学，目前大量以数值方法用计算机来完成。科学计算已与理论研究，科学实验已成为当今科学研究的三大方法与手段。§2误差与有效数字(I)误差来源数值分析是研究求解数学问题的数值方法，在计算过程中,误差是不可避免的，引起误差的因素很多，主要有1.数学模型误差2.观测误差(测量误差)Axx23.截断误差，例°=1+石+石+・・・+二？+・・・当卜

5、很小时，Q匕1+兀，由此看出宀心+尹，。如1用1+X來近似幺"的误差Ox2!4.舍入误差在计算过程中，往往对数字“4舍5入”。受计算机字长限制,无法对无穷小数进行运算，必须化为具有一定

6、位数的数字进行运算这样引起的误差称舍入误差。(II)绝对误差，相对误差设X为准确值，％*为其近似值，令£=X-X,称其为近似*值X的绝对误差，或称误差。x-x*由于兀往往未知，故F—般不能求岀。6=—称为/的相对误差。*X—X由于X往往未知，因此也称其为相对谋差。Ji**假定兀为某一实数的准确值，X为其近似值，可对X的绝对误差作估计***/(X)称为兀的绝对误差界，或称误差界。相应于5(F)称为T的相对误差界。例龙=3.1415926…龙一龙*=0.0015926•…5(F)=0.002；相对误差界6(门=0.0007取

7、龙"=3.14可令其绝对误差界(in)有效数字有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，也能表示其精确程度。*在数值计算过程中，用四舍五入原则取X的前n位数兀为其近似值，例如兀=血=1.4142135…取前4位，x=1.414可以看出，

8、V2-/

9、<

10、xl0-3,四舍五入得到的数，其绝对误差不超过未位数的半个单位。例5兀=3.1415926…取前面5位n=3.1416TC-71<—X1O"42定义如果近似值/的绝对误差界为2X10_^那么称T准确到小数点后第〃位，并从第1个非零数字到这一位所有数字称为有效数

11、字。例411.414准确到小数点后第3位，有4位有效数字。兀3.1416准确到小数点后第4位，有5位有效数字。（IV）数值计算中注意的问题1.避免两个相近的数相减。2.避免大数“吃”小数。3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。4.简化运算次数。§3数值稳定性计算积分A^—dx,7i=0,l,---,14}x+5要计算15个积分。方便起见，建立递推公式。注意到人+九J土如ax)x+5=匸4心+丄Joy丄5Jo由此得--5In门取0；)=ln6-ln5=lnl・2u0.182321560.182321560.182321

12、560.088392250.8839222@.030195880.01692612io-0.050979410.01536914138.305409380.0118412714-41.455618310.01222222卜'面来分析递推公式计算结果是否止确?6(n+l)dx