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1、教材：关治、陆金甫数值方法清华大学出版社,2006第1章引论§1数值分析研究对象与特点(I)数学与科学、工程技术有非常密切关系‘并相互影响°数学模型的研究和求解，应用于科学与工程实践。、抽象建立数学模型。对数学模型的建立与研究是数学研究的重要任务。例如，设有一个质量为加的质点作直线运动（设其在X轴上运动），其坐标用兀表示。在质点运动过程中，其坐标兀随时间/而变动，要知道质点如何运动，就要知道兀对时间f的依赖关系。假定运动是在力F的作用下进行的，而力F又与时间质量的位置％,dxdx速度v有关，即F
2、=o由Newton第二定律,atatF=ma,a"lt=l^f即在吋刻t有d2x…dx、m—=F{t,x,——)dt2dt为使问题定解，还需加上初始条件dxI这样的初值问题，其解存在，唯一，连续依赖于初始数据…是数学工作者要研究和解决的问题。作为科学与工程技术工作者，仅知道其解的存在，唯一…是不够的，还必须知道其数量是多少。很多线性与非线性问题很难用解析方法来求得，甚至于看来简单的问题，也难于解析求解，asinx如—~dx不能用解析方法求得。很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必
3、须采用数值方法来求解。数值分析则是研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重要的任务。数值分析具有两个显明特点1・实践性数值求解的总是来源于科学与工程实践，解决之后又为科学与工程技术服务。2.与计算机的密切相关虽然数值分析早于计算机的出现,但是数值分析的飞速发展是计算机出现之后，并随计算机发展而迅速发展。计算机为用数值方法进行科学与工程计算提供了条件，而数值方
4、法的发展乂推动了计算机的发展。现在大量的科学与工程问题可用计算机进行求解。过去完全靠实验的学科，如气体动力学，目前大量以数值方法用计算机来完成。科学计算已与理论研究，科学实验已成为当今科学研究的三大方法与手段。§2误差与有效数字(I)误差来源数值分析是研究求解数学问题的数值方法，在计算过程中,误差是不可避免的，引起误差的因素很多，主要有1.数学模型误差2.观测误差(测量误差)X3.截断误差，例".Xx2xn111!2!nl当卜
5、很小时，夕ul+兀，由此看出心1+“討0<“1用1+X來近似Q的误差
6、4.舍入误差在计算过程中，往往对数字“4舍5入”。受计算机字长限制,无法对无穷小数进行运算，必须化为具有一定位数的数字进行运算这样引起的误差称舍入误差。(I)绝对误差，相对误差设兀为准确值，兀*为其近似值，令£=X-x称其为近似值F的绝对误差，或称误差。*X—X由于X往往未知，故£一般不能求出。£r=—称为•/的相对误差。jq—x由于兀往往未知，因此也称其为相对误差。**假定兀为某一实数的准确值，X为其近似值，可对X的绝对误差作估计<3{x)/(F)称为F的绝对误差界，或称谋差界。相应于/(T
7、)称为F的相对误差界。例n=3.1415926•••乃—龙*=0.0015926…十^(x)=0.002.相对误差界》“)=0.0007取宀3.14可令其绝对误差界(I)有效数字有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的人小，也能表示其精确程度。在数值计算过程中，用四舍五入原则取X的前n位数%*为其近似值，例如兀=7^=1.4142135・・・取前4位,F=1.414可以看出，
8、V2-x*
9、<
10、xl0-四舍五入得到的数，其绝对误差不超过未位数的半个单位。例5=3.1415926…*取前
11、面5位n=3.141671<—X1O~42定义如果近似值T的绝对误差界为
12、xl0_那么称T准确到小数点后第〃位，并从第1个非零数字到这…位所有数字称为有效数字。例a/21.414准确到小数点后第3位，有4位有效数字。兀3.1416准确到小数点后第4位，有5位有效数字。(I)数值计算中注意的问题1.避免两个相近的数相减。2.避免大数“吃”小数。3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。4.简化运算次数。§3数值稳定性计算积分=f——dx,兀=0,1,・・・,14山兀+5要计算15个积分。方便起见
13、，建立递推公式。注意到人+5几『5+5）心［D力x+5力n--5I由此得U1n-^=ln6-ln5=lnl.20.18232156（）xoA■•0.182321560.08839225■0.182321560.8839222■•/@.03019588 .01692612■■-0.05097941■■0.01536914■■•〜【3•8.30540938•0.01184127-41.455618310.01222222下面來分析递推公式计算结果是否正确?6(n+l)dx
