一元二次方程应用题的题型

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1、一元二次方程的应用（一）二次三项式的因式分解　（1）　形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式．（2）二次三项式因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)　　说明：(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．　　(b)任何二次三项式，当对应的一元二次方程△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．当△=0时，二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式．　　(c)对于二次三项式的因式分解，能用前面学过的方法分解的，用

2、前面学过的方法较简便．借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式．(3)因式分解二次三项式的步骤　　(a)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．　　(b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)．　(4)难点/混淆点：(a)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．　　(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．　　(c)把x1、x2的值代入公式后

3、，能化简整理的可以化简整理．(5)常见例题-4y2＋8y－1．解：对应的方程为－4y2＋8y－1=0根的判别式：△=8*8-4*（-4）*（-1）=48〉0所以它有两个不等的实根。它的两根是：　　6　　启示：(a)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；　　(b)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化．(6)拓展：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解这样的多项式叫做

4、关于x,y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式.(7)综合题：二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(a)在实数范围内能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？　　　解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k　　(a)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；　　(b)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；　　(c)当△=0时，

5、即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．　　当时，　　　（二）列一元二次方程解应用题（1）解应用题步骤即：1．审题；2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断解是否符合题意；66．写出正确的解．（2）常见类型1、传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数共传染人数第0轮1（传染源）1第1轮xx+1第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)列方程1+x+

6、x(x+1)=121解方程，得X1=10，X2=-12X2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。类似问题还有树枝开叉等。2、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？c.一个正八边形，它有多少条对角线？3、平均率问题最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： M=a(

7、1±x)n n为增长或降低次数  M为最后产量，a为基数，x为平均增长率 或降低率平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。（a）平均增长率问题某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a.列方程，600÷40%×(1+a)2=2160解方程，a1=0.

8、2a2=-2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2则2001年预计经营总收入为：600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答：2001年预计经营总收入为1800万元.（b）平均下降率问题从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？剖析