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1、第八章MATLAB数值积分与微分7/22/20211数值积分数值微分7/22/202128.1数值积分8.1.1数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。7/22/202138.1.2数值积分的实现方法1.变步长辛普生法基于变步长辛普生法，MATLA
2、B给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。7/22/20214(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(
3、2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=77例8-1求定积分。7/22/202152.牛顿－柯特斯法基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace)其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。7/22/
4、20216(1)被积函数文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)调用函数quadl求定积分。I=quadl('fx',0,pi)I=2.4674例8-2求定积分。7/22/20217例8-3分别用quad函数和quadl函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。7/22/202183.被积函数由一个表格定义在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=
5、f(X)。例8-4用trapz函数计算定积分。7/22/202198.1.3二重定积分的数值求解使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。7/22/202110例8-5计算二重定积分(1)建立一个函数文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%
6、ki用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)调用dblquad函数求解。globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=10507/22/2021118.2数值微分8.2.1数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。DX=d
7、iff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。7/22/202112例8-6生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。例8-7用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f'(x)的图像。7/22/202113
