学好二次函数有妙招

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1、志成教育学好二次函数有妙招二次函数是重要的基本初等函数之一，它的性质、图像经常被考查，可见学习二次函数至关重要。下面就让我们从重点、难点突破二次函数问题。一、二次函数解析式二次函数的三种解析式（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）交点式：说明：求解二次函数的解析式常用的方法是待定系数法，根据具体已知条件设出对应的方程形式，即当已知图像上三点的坐标时，设出函数的一般式进行求解较为简便；当已知顶点或对称轴时，常设顶点式；当已知二次函数对应方程的两根（即二次函数图像与x轴交点的横坐标0时，设交点式更为简便。例1、已知二次函数f（x）满足f（2）＝f（－1）＝－1，且f（x）的最大值为8，试确定

2、此二次函数。分析：由题目条件知二次函数过（2，－1），（－1，－1）点，且知其最大值，结合二次函数的性质，可从三个角度待定函数解析式解题。本题给出其中一种解法供大家参考。解：设，由题意得，解得a＝－4，b＝4，c＝7，所以所求二次函数为点评：在具体题目中，要根据具体情况，挖掘隐含条件，设出适当的形式求解。二、二次函数最值配方法是研究二次函数的主要方法，熟练掌握配方法是掌握二次函数性质的关键。对一个具体的二次函数，通过配方法就能知道这个二次函数的主要性质。在求二次函数的最值时，要注意定义是R还是区间[m，n]，若是区间[m，n]，最大（小）值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在区间[m，n

3、]内还是在区间的左边或右边，在区间的某一边时应该利用函数的单调性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得。注意数形结合和分类讨论思想在解决最值问题中的应用。例2、已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。解：（1）令，得，此时抛物线开口向下，对称轴为x＝－2，且，故不合题意；（2）令f（2）＝3，得第3页共3页志成教育，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意；（3）若，得，经检验知符合题意。综上，或.点评：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其是否符合题意，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题

4、的一种有效方法。一、二次函数单调性、奇偶性1、二次项系数a决定了函数图像的开口方向、开口的大小和单调性。当a>0时，开口向上，函数在对称轴两侧先减后增；当a<0时，开口向下，函数在对称轴两侧先增后减。2、一次项系数b是否为0决定着函数的奇偶性。当b＝0时，函数为偶函数；当时，函数既不是奇函数也不是偶函数。例3、已知在上是增函数，求实数a的取值范围。分析：根据二次函数的开口方向，通过配方画出草图，标出对称轴，借助单调性确定参数范围。解：因为在上是增函数且图像开口方向向上，故函数图像的对称轴应在x＝2的左边或x＝2，又因为的图像的对称轴是x＝a，所以点评：二次函数是我们熟悉的函数，只要遇到二

5、次函数问题就想到图像，可以不将图像画出，而在脑海中出现，会给我们研究问题带来很大方便。例4、若函数，当a为何值时，f（x）是奇函数，并加以证明。分析：假设函数是奇函数，按照f（－x）＝－f（x）求出a的值，再利用定义进行证明解：假设f（x）是奇函数，则有f（－x）＝－f（x），当x>0时，－x<0，则，又因为x>0时，，所以，因为f（－x）＝－f（x），即，所以a＝1.下面证明是奇函数当x>0时，－x<0，则；当x<0时，－x>0，则；第3页共3页志成教育当x＝0时，f（0）＝0，于是，所以f（－x）＝－f（x），所以假设成立，当a＝1时，f（x）是奇函数。点评：这是一道创新试题，研究的

6、是分段函数为奇函数的条件，与常规处理奇偶性的方法有所不同，这里需要利用f（－x）＝－f（x）对函数分段求解，然后对函数进行证明。第3页共3页