资源描述：
《初等数学方法建模讲稿》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、初等数学方法建模初等数学方法建模现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三，开拓思路，提高分析,解决实际问题的能力。第一节有关自然数的几个模型1.1鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理，把个苹果放入个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。问题1：如果有个人，其中每个人至多认识这群人中的个人（不包括自己），则至少有两个人所认识
2、的人数相等。分析：我们按认识人的个数，将个人分为类，其中类，表示认识个人，这样形成个“鸽笼”。若，则个人分成不超过类，必有两人属于一类，也即有两个人所认识的人数相等；若，此时注意到类和类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼”至多为个，也有结论成立问题2：在一个边长为的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于.分析：边长为1的正三角形，分别以为中心，为半径圆弧，将三角形分为四个部分（如图1-1），则四部分中任一部分内两点距离都小于，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四个点，使彼此间距离大于，且确实可找到如及三角形
3、中心四个点。图1—11.2“奇偶校验”方法所谓“奇偶校验”，即是如果两个数都是奇数或偶数，则称这两个数具有相同的奇偶性；若一个数是奇数，另一个数是偶数，则称具有相反的奇偶性。在组合问题中，经常使用“奇偶校验”考虑配对问题。6初等数学方法建模图1-2问题1（菱形十二面体上的H路径问题）：沿一菱形十二面体各棱行走，要寻找一条这样的路径它通过各顶点恰好一次，该问题被称为Hamilton路径问题。分析：我们注意到菱形十二面体每个顶点的度或者为或者为，所谓顶点的度是指通过这一顶点的棱数，如图1—2；且每度顶点刚好与个度顶点相连，而
4、每个度顶点刚好与个度顶点相连。因此一个Hamilton路径必是度与度顶点交错，故若存在Hamilton路径，则度顶点个数，与度顶点个数要么相等，要么相差。用奇偶校验法度顶点为奇数顶点，度顶点为偶数顶点，奇偶配对，最多只能余个；而事实上菱形十二面体中，有度顶点个，度顶点个；可得结论，菱形十二面体中不存在Hamilton路径.1.3自然数的因子个数与狱吏问题令为自然数的因子个数，则有的为奇数，有的为偶数，见下表:n12345678910111213141516d(n)1223242434262445我们发现这样一个规律，当且
5、仅当为完全平方数时,为奇数；这是因为的因子是成对出现的,也即;只有为完全平方数,才会出现的情形，才为奇数。下面我们利用上述结论研究一个有趣的问题.狱吏问题：某王国对囚犯进行大赦，让一狱吏n次通过一排锁着的n间牢房，每通过一次按所定规则转动门锁,每转动一次,原来锁着的被打开,原来打开的被锁上；通过n次后，门锁开着的，牢房中的犯人放出，否则犯人不得获释。转动门锁的规则是这样的，第一次通过牢房，要转动每一把门锁，即把全部锁打开；第二次通过牢房时，从第二间开始转动，每隔一间转动一次；第k次通过牢房，从第k间开始转动，每隔k-1间
6、转动一次；问通过n次后，那些牢房的锁仍然是打开的？问题分析：牢房的锁最后是打开的，则该牢房的锁要被转动奇数次；如果把n间牢房用编号，则第k间牢房被转动的次数，取决于k是否为整除，也即k的因子个数，利用自然数因子个数定理，我们得到结论：只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的。1．4相识问题问题：在6人的集会上，总会有3人互相认识或互相不认识。6初等数学方法建模分析：设6人为;下面分二种情形，1.至多只和两个人相识，不妨设不认识；若互相都认识，则结论成立，若中有两人不认识，则加上，有三人互不相识.2．至少和三人相识，不妨设认
7、识；若互不相识结论成立，若有两人相识，加上则有三人互相认识。这样，我们就证明了结论成立,这个问题的讨论，我们也可以采用几何模似的方法，如图1—4图1-4在平面上画出六个点，表示6个人，两点间存在连线，表示两人相识；只需说明，图中必有三点组成三角形（有三人相识），或有三点之间没有一条连线（三人互不相识）即可，第二节状态转移问题本节介绍两种状态转移问题，解决这种问题的方法,有状态转移法，图解法及用图的邻接距阵等。2．1人、狗、鸡、米问题人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃
8、米，问人，狗、鸡、米应如和过河？分析：假设人、狗、鸡、米要从河的南岸到河的北岸，由题意，在过河的过程中，两岸的状态要满足一定条件，所以该问题为有条件的状态转移问题。1.允许状态集合我们用（w,x,y,z），w,x,y,z=0或1，表示南岸的状态，例如（1，1，1，1）表示它们都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，鸡在南
