关于极大极小问题的凝聚函数方法

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1、夕J，一第28卷第4期山东农业大学学报1997年12月VoI_28N94JournalofShandongAgriculturalUniversityDec．1997关于极大极小问题的凝聚函数方法王云诚董厚奎刘学生、L／(山东农业大学基础部)(大连大学)【摘要】凝聚函数法是求解极大扳小问题的一种有效方法．但多年来该方法一直缺少理论依据。本文从理论上肯定了该方法的合理性。关键词：极大极小；优化；收敛性●_‘_—一一——●●一中国法分类号：0221-●__一0NTHEAGGREGATEFUNCT10NMETH0DF0RMINIMAXpR0BLEMSWangYuneheng，Don

2、gHoukui(BasicCoursesDepartment，ShandongAgriculturalunlvers)LiuXuesheng(BasicC~rsesDepartment，DelianUniversity)AbstractTheaggregatefunctionmethodisaneffectiveapproachforsolvingminimaxproblems．Yettherehasbeenn0theoreticalanalysisonthismethodtilltoday．Inthispa—pertherationalityofthemethodisstu

3、died．许多工程设计和经济决策问题都可以归结为极大极小问题。一个非线性极大极小问题通常定义为：(，1)min)(1)∈I其中)一max{f,()}(2)。≤一般地．()为变量∈1R的实值光滑函数，)称为极大值函数。因为极大值函数)是不可微的，问题(，)是一个不可徽优化问题。由于极大极小问题在优化理论及应用中的重要作用。这类问题的求解方法的研究一直被优化界所重视。，并提出多种不同的算法。这些算法可分为两类，一类是通过求解与问题(P)等价的非线性规划问题(P)：(P2)min(3)S．t．)一≤0，i一1，⋯，m(4)来实现的。然而，这种变换丧失了原有的无约束优化性质，因此计算

4、效率不高。其它算法大都是针对某一些特殊的板大极小问题提出来的近似算法。*收穑日期}16l121·472·山东农业大学学报28卷G．Kreisselmeier和R．Steinhauser在文献5中给出了极大值函数z)的一个近似函数：z)一古exp(训()人们称之为K—S函数或凝聚函数，其中户>o为控制参数。对于任何有限的户，F(z)是光滑函数，且当户·一+oo时，F(z)一致收敛于z)。因此可以通过求解参数·户充分大时的可微优化问题(P)：(P3)minF()(6)∈I得到原问题的近似解。该方法已被应用于复杂的工程优化设计和数学规划中，取得了很好的计算效果“。但这种方法是否可靠

5、还缺少理论分析，本文对此进行了研究。记问题(P)的可行域为n一{(，=)∈×RI()一2≤0，=1，⋯，)I()一{iI0)一))，IN)一{il()<))定义1z。∈R称为问题(P)的一个临界点，如果对一切d∈R，都有：max(z。)≥0(7)J∈』)定义2如果(z，)∈n且存在^一(^，⋯，K)∈R满足：∑(z)一0(8)一1(9)丙。(，。)一g。)一0，i一1，⋯，(1O)。≥0，i一1，⋯，m(11)则称(‘，2)是问题(P2)的Kuhn—Tucker点，简称K—T点。定义3对于给定的参数户>0，z称为问题(P)的一个稳定点，如果，(z。)一0。众所周知，在一定条件

6、下，问题(P)的最优解必是它的K—T点；在可微的条件下，问题(P)的最优解必是它的稳定点。由于求最优解不易实现，人们往往把求问题(P)的最优解降低为求其K—T点，把求问题(P)的最优解降低为求其稳定点。关于问题(P。)的临界点和问题(P)的K—T点，我们有下述定理：定理1z是问题(P。)的临界点当且仅当[z。，。)]是问题(P)的K—T点。证明充分性：设存在一(，⋯⋯，)∈R满足(8)一(11)式，则当i∈IN。)时，一0，于是对于任何d∈R，有：∑。Vf,(z)rd一0(12)r∈，．(‘】从而max．)d≥0(13)r∈，1(‘必要性：设z是问题(P)的临界点，但不存在一

7、(，⋯，)∈R满足(8)一(11)式，则0在Co{‘)li∈，(_r)}，其中Co表示集合的凸包。于是由凸集4期王云诚等关于极太极小问题的凝聚函效方法·473·分离定理知，存在向量d∈R及常数r>0，使(。)≤一c，Vi∈IA(。)(14)这与(7)式矛盾。证毕下面给出本文的主要结果：定理2如果z是问题(P)的稳定点，z是{，}当p一十。。时的一个极限点，则。，∈z’)]是问题(p)的K—T点。证明z是问题(。)的稳定点，因而F)=0(15)计算可知)：妻丛(一∑exp(pf~(xp))：)二堕!vL(