基于应力的结构形状最优化条件研究

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1、_______________________________________________________________________________www.paper.edu.cn基于应力的结构形状最优化条件研究吴志学（扬州大学机械工程学院,扬州225009）摘要基于生物适应性生长原理，对基于应力的结构形状最优化条件进行了研究。结构形状最优化的必要条件是：对具有确定的边界条件和设计域的结构，其自由边界线上的应力一定为均匀应力。根据最优化条件，两类经典的基于应力的结构形状优化问题，即，求最小最大应力问题和给定应力条件下求最小面积问题，得到了统一。

2、另外，利用最优化条件还可以解决带有附加几何约束的优化问题。提出了一种简单且能够按给定的误差精度要求对结构进行优化的二维结构形状优化方法。最后，应用有限元实例对所提出的最优化条件和优化方法进行了验证。关键词生物适应性生长原理，结构形状优化，工程设计，最优化条件，有限单元法引言结构形状优化是工程设计领域的一个分支，它主要研究如何确定连续体结构的边界形状以最大的可能来提高结构的承载能力、消除（或减少）材料的冗余和延长结构寿命等。随着计算机技术的发展，以有限元分析技术为基础的工程设计过程和计算机辅助制造技术都得到了极大的发展，为复杂的结构优化设计问题奠定了研究和

3、应用基础。近年来，相继出现了很多新的优化方法，如以遗传[1-3][4-7][8，9]算法为基础的优化方法，以模拟生物的生长原理为基础的优化方法，无梯度优化法，模拟[10]光弹实验优化法等。虽然现有的优化方法针对不同的具体问题有着各自的优点，但由于结构优化问题的复杂性，到目前为止还没有人明确提出结构形状的最优化条件，即，如何判定最优结构形状。这意味着现有的优化方法只能获得“好”的或“较好”的结果，但无法获得“最好”的结果。这一问题得不到彻底解决，就无法对应用各种优化方法得到的结果进行准确评价，也无法按给定的精度要求对结构进行优化。[4，5]Mattheck

4、根据生物结构的力学特征，曾提出过应力均匀性原理：在给定的外载荷作用下，最优结构沿缺口边界上的应力应当完全是均匀的。然而，除了个别几种情况外，对于大多数工程结构，这样的等应力缺口并不存在。Cherkaev等采用变分原理讨论了应力场内孔洞形状最优化的必要[11]条件。根据能量理论，沿最优孔洞边界上的应力应当为常数。然而他们发现，获得这样的完全等应力边界是不可能的，但可以获得分段等应力边界。这表明，应用现有的固体力学理论似乎很难导出一般情况下的最优化条件。本文根据生物适应性生长原理，对基于应力的结构形状最优化条件进行了研究，并建立了一种模拟生物适应性生长过程的

5、优化方法。1结构形状最优化条件1.1生物适应性生长原理自然界中，生物结构的形状通常具有最优特征，比如树的干、枝结构，动物的骨骼、爪等结构。[5]这样的形状主要通过两种方式来获得：一种是长期的自然选择和遗传继承；另一种是适应性生长。基于应力的适应性生长的含义是：在“高应力”区边界增加材料或在“低应力”区边界减少材料。生物体通过适应性生长调节方式使自身结构的受力状态最合理，即，结构的最大应力最小并且无冗余材料。应用生物适应性生长原理，必须接受如下两个假设：（1）在高应力区合理地增加材料会降-1-________________________________

6、_______________________________________________中国科技论文在线www.paper.edu.cn低该区域的应力，虽然这也会引起该区域周围附近的应力有所增大；（2）适当减少低应力区的材料仅导致该区域内的应力有所增大，但不会增大，甚至会减小该区域以外的应力。另一个关键问题是必须确定一个合理的优化准则来决定多大的应力算作是“高应力”和“低应力”。对于生物而言，它可能是根据自身材料的强度来确定优化准则，如最大拉伸极限应力。生物体在生长过程中会努力降低“高应力”以避免失效，以及尽可能减少“低应力”区的材料以减轻“累赘”

7、。显而易见，如果几何约束不存在，生物通过自我调节可以实现边界上的完全均匀应力状态。然而，几乎所有工程中使用的零件必须满足某些几何约束，且在大多数情况下不可能获得沿缺口边界完全均匀的应力分布。因此，搞清楚几何约束存在这一前提下的结构形状的最优化条件是解决形状优化问题的关键。1.2结构形状最优化条件图1为一具有确定边界条件和设计域的弹性固体模型。优化目标是在设计域Ω内通过改变域边界形状以获得最佳设计。设计域的内、外边界线分别由Γi和Γo表示。为简便起见，图中仅显示了位于该模型右侧的几何元素。一般情况下，当该模型达到最优形状时，设计域内的最优边界线应当由位于设

8、计域边界上的线段（称之为固定边界）和位于设计域内的曲线（称之为自由边界，也就是待